Planejativo

Polígonos

Ângulos

Semelhança de triângulos

Quadriláteros e Hexágonos

Circunferência e Círculo

Geometria de posição: Posições relativas e Projeção ortogonal

Poliedros

Cilindros

Cones e Troncos de cones

Esferas

Estudo do ponto

Estudo da reta

Estudo da circunferência

Triângulo retângulo: relações métricas

Triângulo equilátero

Lei dos senos e dos cossenos

Triângulo retângulo: relações trigonométricas

Teorema de Tales

Pirâmides e Troncos de pirâmides

Prismas

Sólidos inscritos

Formas Geométricas Formas geométricas são os formatos das coisas que observamos e são constituídas por um conjunto de pontos.A Geometria é a área da Matemática que estuda as formas.Podemos classificar as formas geométricas em: planas e não planas.Formas PlanasSão as que ao serem representadas ficam totalmente inseridas em um único plano. Apresentam duas dimensões: comprimento e largura.Exemplos<img alt="Formas planas" height="240" src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/81ee788c8c6f83ffb56f7fee0cf615e7.jpg" width="350">As formas planas podem ser classificadas em polígonos e não polígonos.PolígonosSão figuras planas fechadas delimitadas por segmentos de reta que são os lados do polígono.Exemplos<img alt="Exemplos de Polígonos" height="209" src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/91702e5e622a646dc56f984d95589161.jpg" width="350">Os polígonos recebem nomes conforme o número de lados que apresentam.Assim, temos:<ul><li>3 lados - Triângulo</li><li>4 lados - Quadrilátero</li><li>5 lados - Pentágono</li><li>6 lados - Hexágono</li><li>7 lados - Heptágono</li><li>8 lados - Octógono</li><li>9 lados - Eneágono</li><li>10 lados - Decágono</li><li>12 lados - Dodecágono</li><li>20 lados - Icoságono</li></ul>Não polígonosSão formas geométricas não delimitadas totalmente por segmentos de retas. Podem ser abertas ou fechadas.Exemplos<img alt="Exemplos de não polígono" height="207" src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/8d7ab86b5418a45d00f6a8ce0a2e5c71.jpg" width="350">Formas Não Planas Para representar formas deste tipo é necessário mais de um plano. São figuras com três dimensões: comprimento, altura e largura.Exemplos:<img alt="Exemplos de sólidos geométricos" height="263" src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/5bafcb321408f84096b5b704933e6cc4.jpg" width="350">As formas não planas também são chamadas de sólidos geométricos. Eles são classificados em poliedros e não poliedros.Poliedros São formados apenas por polígonos. Cada polígono representa uma face do poliedro.A reta de interseção entre duas faces é chamada de aresta. O ponto de interseção de várias arestas é chamado de vértice do poliedro.<img alt="Poliedros" height="263" src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/1f0846a92342cf9b30256fe92c42b86a.jpg" width="350">Pirâmide, cubo e dodecaedro são exemplos de poliedrosNão poliedrosOs não poliedros, também chamados de corpos redondos, apresentam superfícies arredondadas.<img alt="Corpos redondos" height="195" src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/e16bb1cec147c997db2e22760595cc0f.jpg" width="350"> Esfera, cone e cilindro são exemplos de corpos redondosPara saber mais leia também:<ul><li>Esfera</li><li>Cone</li><li>Cilindro</li><li>Prisma</li><li>Pirâmide</li></ul>FractalA palavra Fractal foi criada por Benoit Mandelbrot a partir da palavra do latim fractus, que significa irregular ou quebrado.São formas geométricas em que cada parte da figura se assemelha ao todo.Associada a teoria do caos, a geometria fractal descreve as formas irregulares e quase aleatórias de muitos dos padrões da natureza. Por isso, também é chamada de geometria da natureza.Os Fractais são formas geométricas de uma beleza incrível com padrões que se repetem infinitamente, mesmo quando limitados a uma área finita.<img alt="Fractal" height="278" src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/89d2302624b0859ed993e28d3bf6df7f.jpg" width="350"> Exemplo de forma fractal na natureza﻿Geometria Plana A geometria plana ou euclidiana é a parte da matemática que estuda as figuras que não possuem volume.A geometria plana também é chamada de euclidiana, uma vez que seu nome representa uma homenagem ao geômetra Euclides de Alexandria, considerado o “pai da geometria”.Curioso notar que o termo geometria é a união das palavras “geo” (terra) e “metria” (medida); assim, a palavra geometria significa a "medida de terra".Conceitos de Geometria Plana Alguns conceitos são de suma importância para o entendimento da geometria plana, a saber:Ponto: Conceito adimensional, uma vez que não possui dimensão. Os pontos determinam uma localização e são indicados com letras maiúsculas. Reta: A reta, representada por letra minúscula, é uma linha ilimitada unidimensional (possui o comprimento como dimensão) e pode se apresentar em três posições:<ul><li>horizontal</li><li>vertical</li><li>inclinada</li></ul>Dependendo da posição das retas, quando elas se cruzam, ou seja, possuem um ponto em comum, são chamadas de retas concorrentes. Por outro lado, as que não possuem ponto em comum, são classificadas como retas paralelas.Segmento de Reta: Diferente da reta, o segmento de reta é limitado pois corresponde a parte entre dois pontos distintos. A semirreta é limitada somente num sentido, visto que possui início e não possui fim. Plano: Corresponde a uma superfície plana bidimensional, ou seja, possui duas dimensões: comprimento e largura. Nessa superfície que se formam as figuras geométricas. Ângulos: Os ângulos são formados pela união de dois segmentos de reta, a partir de um ponto comum, chamado de vértice do ângulo. São classificados em:<ul><li>ângulo reto (Â = 90º)</li><li>ângulo agudo (0º</li><li>ângulo obtuso (90º</li></ul>Área: A área de uma figura geométrica expressa o tamanho de uma superfície. Assim, quanto maior a superfície da figura, maior será sua área. Perímetro: O perímetro corresponde a soma de todos os lados de uma figura geométrica. Polígonos Os polígonos são figuras planas e fechadas constituídas por segmentos de reta. A palavra "polígono" advém do grego e constitui a união de dois termos "poly" e "gon" que significa "muitos ângulos".Os polígonos podem ser simples ou complexos. Os polígonos simples são aqueles cujos segmentos consecutivos que o formam não são colineares, não se cruzam e se tocam apenas nas extremidades.Quando existe intersecção entre dois lados não consecutivos, o polígono é chamado de complexo.<img alt="Polígonos simples e compostos" height="324" src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/0e19a55e7d5ee42858e527608160851a.jpg" width="630">Polígono convexo e côncavoA junção das retas que formam os lados de um polígono com o seu interior é chamada de região poligonal. Essa região pode ser convexa ou côncava.Os polígonos simples são chamados de convexos quando qualquer reta que une dois pontos, pertencente a região poligonal, ficará totalmente inserida nesta região. Já nos polígonos côncavos isso não acontece.<img alt="Polígono convexo e côncavo Gif animado" height="354" src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/81069c76d06e47532fb4afd2984a7689.gif" width="630">Polígonos regularesQuando um polígono apresenta todos os lados congruentes entre si, ou seja, possuem a mesma medida, ele é chamado de equilátero. Quando todos os ângulos têm mesma medida, ele é chamado de equiângulo.Os polígonos convexos são regulares quando apresentam os lados e os ângulos congruentes, ou seja, são ao mesmo tempo equiláteros e equiângulos. Por exemplo, o quadrado é um polígono regular.<img alt="Polígono regular" height="354" src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/3b78f7f8bd5bf9c678f0d1af281477eb.jpg" width="630">Elementos do Polígono<ul><li>Vértice: corresponde ao ponto de encontro dos segmentos que formam o polígono.</li><li>Lado: corresponde a cada segmentos de reta que une vértices consecutivos.</li><li>Ângulos: os ângulos internos correspondem aos ângulos formados por dois lados consecutivos. Por outro lado, os ângulos externos são os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado sucessivo a ele.</li><li>Diagonal: corresponde ao segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos, ou seja, um segmento de reta que passa pelo interior da figura.</li></ul><img alt="Elementos de um polígono" height="410" src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/2caa40b80a8d539f5de15a00fe9b638e.jpg" width="630">Nomenclatura dos PolígonosDependendo do número de lados presentes, os polígono são classificados em:<img alt="Nomenclatura poligonos" height="487" src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/3dcc3ac97dd90539ff891c88a8e07f18.jpg" width="630">Soma dos ângulos de um polígonoA soma dos ângulos externos dos polígonos convexos é sempre igual a 360º. Entretanto, para obter a soma dos ângulos internos de um polígono é necessário aplicar a seguinte fórmula:<img src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/9c8e4accf39fc78a0d82064afa3c535f.png" style="width: 135px;"> Sendo:n: número de lados.do polígonoExemploQual é o valor da soma dos ângulos internos de um icoságono convexo?SoluçãoO icoságono convexo é um polígono que apresenta 20 lados, ou seja n = 20. Aplicando esse valor na fórmula, temos: <img src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/2ee2f789906a1683681e302278aa5b30.png" style="width: 147px;"> Assim, a soma dos ângulos internos do icoságono é igual a 3240º.Número de diagonaisPara calcular o número de diagonais de um polígono, utiliza-se a seguinte fórmula: <img src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/2c493c6db8c989b7fddf8b43b78530cc.png" style="width: 117px;"> ExemploQuantas diagonais apresenta um octógono convexo?SoluçãoConsiderando que o octógono possui 8 lados, aplicando a fórmula, temos: Portanto, um octógono convexo contém 20 diagonais. <img src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/2d29f9d53b410234817c451d099758df.png" style="width: 111px;"> Na tabela abaixo, temos o valor da soma dos ângulos internos e o número de diagonais dos polígonos convexos de acordo com o número de lados:<img alt="Diagonal e ângulos internos" height="494" src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/6c5f1686c568f57c7eddf64df0865af7.jpg" width="630"> Perímetro e área dos polígonosO perímetro é a soma das medidas de todos os lados de uma figura. Assim, para conhecer o perímetro de um polígono, basta somar as medidas dos lados que o compõe.A área é definida como a medida da sua superfície. Para encontrar o valor da área de um polígono, utilizamos fórmulas de acordo com o tipo de polígono.Por exemplo, a área do retângulo é encontrada multiplicando-se a medida da base pela altura.Já a área do triângulo é igual a multiplicação da base pela altura e o resultado dividimos por 2.ApótemaConsiderando um círculo e um polígono inscrito de n lados, definimos como apótema de uma figura poligonal o segmento de reta que parte do centro da figura formando com o lado um ângulo de 90º, isto é, podemos dizer que o apótema é perpendicular ao lado do polígono.<img width="144" height="135" alt="" src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/632f5ce1099de2a0d2c8ff309e3c06cd.jpg">A determinação da medida do apótema de um polígono está diretamente ligada ao raio da circunferência em que ele está inscrito, ao valor do ângulo central e à medida do lado do triângulo que forma o polígono. A figura a seguir é um hexágono regular inscrito na circunferência de raio medindo 4 cm. Vamos determinar a medida do apótema desse hexágono. <img width="204" height="216" alt="" src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/20a7182648d031307c20b9ceff0886bb.jpg">No hexágono regular inscrito na circunferência, a medida do raio r da circunferência é igual à medida do lado do polígono. Dessa forma, temos que o lado medirá 4 cm. Observando o hexágono notamos que ele é formado por 6 triângulos, todos com o apótema de mesmo valor, então basta destacarmos um deles e trabalharmos as relações existentes. Podemos aplicar a relação de Pitágoras, basta calcular a medida do apótema:<img width="130" height="168" alt="" src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/f2bde7e53912382a4b959e3cf059bae0.jpg"> a² + 2² = 4² a² + 4 = 16 a² = 16 – 4 a² = 12 √a² = √12 a = 2√3 cmFórmula da área do polígono a partir do perímetroQuando conhecemos o valor do perímetro de um polígono regular, podemos utilizar a seguinte fórmula para calcular a sua área:<img src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/8741dcba2a6b2fc90b8957db9838d48e.png" style="width: 65px;"> Sendo:p: semiperímetro (a medida do perímetro dividido por 2). a: apótema<img alt="Apótema de um polígono" height="399" src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/3aeae8184131596cf5937d93d24f1d31.jpg" width="630"> Fontes:<a href="https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/apotema.htm" target="_blank">Mundo Educação -</a> Disponível em < <a href="https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/apotema.htm" target="_blank">https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/apotema.htm</a>   > Acesso em 12 abr. 2022. <a href="https://www.todamateria.com.br/poligonos/" target="_blank">Toda Matéria -</a> Disponível em < <a href="https://www.todamateria.com.br/poligonos/" target="_blank">https://www.todamateria.com.br/poligonos/</a>  > Acesso em 12 abr. 2022.