Planejativo

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Circunferência e Círculo

Geometria de posição: Posições relativas e Projeção ortogonal

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Triângulo retângulo: relações métricas

Triângulo equilátero

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Triângulo retângulo: relações trigonométricas

Teorema de Tales

Pirâmides e Troncos de pirâmides

Prismas

Sólidos inscritos

Alguns pontos-chave dessa matéria para o ENEM que devem ser levados em conta ao estudarmos são:

Alguns dos quadriláteros mais importantes! Fonte: 

Os quadriláteros são um tipo especial de figura geométrica que encontramos no nosso plano bidimensional. Como o próprio nome já indica, "quadri-" significa "quatro", e "-látero" se refere a "lados". Então, qualquer figura plana com quatro lados é chamada de quadrilátero.

Vamos pensar em um quadrilátero como uma casa fechada, com quatro paredes. Cada parede é um segmento de reta, e cada canto da casa é onde dois segmentos de reta se encontram. Isso significa que todos os pontos que formam o quadrilátero estão no mesmo plano, como se todos estivessem no chão de um único cômodo.

Os quadriláteros podem ser classificados em três categorias principais, baseando-se na relação entre seus lados:

Um detalhe interessante sobre os quadriláteros é que os lados opostos (aqueles que não compartilham um ponto em comum) podem ser paralelos. Agora, dois lados que compartilham um ponto, como duas paredes que se encontram em um canto, não podem ser paralelos. Afinal, linhas paralelas nunca se encontram!

Agora, vamos dar uma olhada em alguns exemplos de trapézio, paralelogramo e da categoria "outros".

vamos explorar a beleza e a geometria dos paralelogramos. Estes são quadriláteros especiais, com características interessantes que os diferenciam de outros tipos de figuras planas.

Vamos começar definindo um paralelogramo. Um quadrilátero é classificado como paralelogramo se seus lados opostos forem paralelos. Agora, essa definição nos dá algumas propriedades incríveis que são sempre verdadeiras para todo paralelogramo. Vamos ver:

E uma nota importante aqui: se você encontrar um quadrilátero com lados opostos paralelos e do mesmo tamanho, então você tem um paralelogramo!

Agora, vamos olhar para alguns paralelogramos específicos que você provavelmente já ouviu falar: retângulos, losangos e quadrados.

Retângulos são quadriláteros com todos os ângulos medindo 90°. Isso automaticamente faz seus lados opostos paralelos, e portanto, todo retângulo é um paralelogramo. Mas atenção, nem todo paralelogramo é um retângulo! Além das propriedades dos paralelogramos, os retângulos têm uma propriedade adicional: suas diagonais são congruentes.

Losangos são paralelogramos com os quatro lados congruentes. Eles têm todas as propriedades de um paralelogramo, mais uma: as diagonais de um losango formam um ângulo reto.

E, finalmente, temos o quadrado, a estrela do show. Um quadrado é um tipo especial de paralelogramo que é tanto um losango (quatro lados congruentes) quanto um retângulo (ângulos retos). Além das propriedades dos paralelogramos, quadrados possuem diagonais que formam ângulos retos e são congruentes.

Lembrando que, apesar de um quadrado ser losango e retângulo, nem todo losango ou retângulo é um quadrado!

Um trapézio é um quadrilátero que tem apenas um par de lados opostos paralelos. Esses lados paralelos são chamados de bases do trapézio. Agora, como os trapézios não são paralelogramos, as propriedades que discutimos sobre paralelogramos não se aplicam a eles.

Os trapézios podem ser divididos em três categorias principais: trapézios quaisquer, trapézios retângulos e trapézios isósceles.

Os trapézios quaisquer são aqueles que não se encaixam nas outras duas categorias. Eles são os trapézios básicos, sem características especiais.

Já os trapézios retângulos são um pouco mais específicos. Eles têm dois ângulos internos que medem 90°, parecendo como se tivessem um pequeno retângulo em uma de suas extremidades.

Agora, vamos aos trapézios isósceles. Esses trapézios têm um par de lados não paralelos (chamados de lados oblíquos) que são do mesmo comprimento. Isso significa que eles são congruentes.

Uma maneira de visualizar um trapézio isósceles é pensar em um triângulo isósceles que foi cortado ao meio por uma linha paralela à sua base. O resultado é um trapézio isósceles e um outro triângulo isósceles menor!

Agora, o trapézio isósceles tem duas propriedades muito interessantes:

Os quadriláteros podem ser divididos em dois grupos principais: os convexos e os não convexos, que também são conhecidos como côncavos. Mas o que exatamente isso significa?

Imagine que você tem um quadrilátero qualquer e escolha um de seus lados. Agora, tente traçar uma reta que contém esse lado. Se essa reta não intercepta (ou seja, não cruza ou toca) o quadrilátero em nenhum outro ponto, parabéns! Você tem um quadrilátero convexo. É como se o quadrilátero estivesse sempre se curvando para fora ou, para tornar a imagem mais fácil, pense em um balão inflado.

Por outro lado, se a reta que você traçou interceptar outra parte do quadrilátero, você está lidando com um quadrilátero não convexo ou côncavo. Nesse caso, a figura tem uma espécie de "mordida" ou "reentrância", como se algo tivesse beliscado o balão e puxado para dentro.

Então, para resumir: quadriláteros convexos parecem "cheios", como um balão inflado, enquanto quadriláteros côncavos têm pelo menos um "ponto de reentrância", como um balão que foi beliscado.

d) Áreas e elementos dos principais quadriláteros

Como se calcula as áreas dos principais quadriláteros! Fonte: 

Ao contrário do quadrado, um paralelogramo pode ter lados de comprimentos diferentes, além de ângulos que não são necessariamente de 90°. Entretanto, o cálculo da área é bem direto. A fórmula para calcular a área (A) de um paralelogramo é

Aqui, a "Base"  (b) é o comprimento de qualquer um dos lados do paralelogramo, e a "Altura" (h)  é a distância perpendicular de tal base ao lado oposto. É importante lembrar que essa altura não é a mesma que o comprimento do lado oposto (a menos que tenhamos um retângulo), mas é a "altura" de um ponto na base até o lado oposto.

O perímetro (p) de um paralelogramo é a soma dos comprimentos de todos os seus lados. Como num paralelogramo os lados opostos têm o mesmo comprimento, portanto, para calcular o perímetro, basta somar os comprimentos dos dois lados diferentes e multiplicar o resultado por 2.

O cálculo da área de um retângulo é bem simples. A área é basicamente a quantidade de espaço que o retângulo ocupa. Para calcular a área, basta multiplicar o comprimento pela largura do retângulo.

O perímetro é a soma dos comprimentos de todos os lados do retângulo. Para calcular o perímetro, somamos o comprimento e a largura e multiplicamos o resultado por 2.

A diagonal é a linha que liga dois cantos opostos do retângulo. Para calcular a diagonal, usamos o Teorema de Pitágoras, já que um retângulo pode ser dividido em dois triângulos retângulos.

A área é basicamente a quantidade de "espaço" que o quadrado ocupa. Agora, lembrem-se que um quadrado tem todos os lados de igual comprimento, o que facilita muito as coisas para nós! A fórmula para calcular a área de um quadrado é:

Isso significa que você precisa pegar o comprimento de um lado do quadrado e multiplicar por ele mesmo.

A diagonal é a linha que vai de um canto do quadrado para o canto oposto, atravessando o centro do quadrado. Para calcular a diagonal de um quadrado, usamos a seguinte fórmula:

A diagonal do quadrado vêm da fórmula de Pitágoras!

Então, para encontrar a diagonal, basta pegar o comprimento de um lado e multiplicar pela raiz quadrada de 2.

O perímetro de um quadrado é a soma dos comprimentos de todos os seus lados. Como todos os lados de um quadrado têm o mesmo comprimento, a fórmula para o perímetro do quadrado é muito simples:

Portanto, para calcular o perímetro, basta multiplicar o comprimento de um lado por 4.

Um losango é uma figura geométrica que possui todos os lados iguais, mas os ângulos não são necessariamente de 90 graus. A fórmula para a área de um losango é:

O perímetro de um losango é a soma dos comprimentos de todos os seus lados. Como todos os lados de um losango têm o mesmo comprimento, a fórmula para o perímetro do losango é a mesma que a de um quadrado.

O trapézio é uma figura plana com quatro lados, onde pelo menos um par de lados opostos é paralelo. A fórmula para a área de um trapézio é:

O perímetro de um trapézio é a soma dos comprimentos de todos os seus lados. Como um trapézio pode ter todos os lados de diferentes comprimentos, a fórmula para o perímetro do trapézio é:

Imagine que você tenha um quadrilátero qualquer, uma figura de quatro lados. A questão é: como calcular a área dessa figura? Vamos abordar isso de uma maneira fácil.

Primeiro, escolha um dos vértices e desenhe uma linha, chamada de diagonal, até o vértice oposto.

Agora, ao invés de um quadrilátero, você tem dois triângulos!

Agora a pergunta se transforma em: como calcular a área desses triângulos? Bem, a fórmula da área de um triângulo é:

Área do Triângulo = (base * altura) / 2.

Depois de calcular a área de cada um desses triângulos, a próxima etapa é simplesmente somar essas áreas para obter a área do quadrilátero original. Ou seja: