Planejativo

Geometria de posição: Posições relativas e Projeção ortogonal

Ângulos

Semelhança de triângulos

Polígonos

Quadriláteros e Hexágonos

Circunferência e Círculo

Poliedros

Cilindros

Cones e Troncos de cones

Esferas

Estudo do ponto

Estudo da reta

Estudo da circunferência

Triângulo retângulo: relações métricas

Triângulo equilátero

Lei dos senos e dos cossenos

Triângulo retângulo: relações trigonométricas

Teorema de Tales

Pirâmides e Troncos de pirâmides

Prismas

Sólidos inscritos

Alguns pontos-chave dessa matéria para o ENEM que devem ser levados em conta ao estudarmos são:

1. Geometria de Posição: Conceitos Iniciais

A Geometria Espacial é a área da matemática que estuda as formas geométricas tridimensionais, como cubos, pirâmides e cilindros. Fonte: 

Então, pessoal, vamos mergulhar agora em um tópico fascinante da matemática - a Geometria de Posição, que também é conhecida como Geometria Espacial. Basicamente, esse ramo estuda como as formas e os objetos se posicionam e se relacionam no espaço. É como se estivéssemos tentando entender a dinâmica de um jogo tridimensional!

Agora, quando falamos em geometria de posição, existem alguns conceitos chave que vocês precisam ter em mente - forma, tamanho e posição. A forma se refere à maneira como um objeto se parece ou se apresenta no espaço. O tamanho, como vocês devem estar imaginando, refere-se ao quanto de espaço esse objeto ocupa. E a posição indica onde o objeto está localizado no espaço.

Mas temos também alguns outros conceitos que são fundamentais na Geometria de Posição, e são tão fundamentais que não temos uma definição formal para eles, só um entendimento geral. São eles: ponto, reta, plano e espaço. Um ponto, por exemplo, é basicamente um local no espaço. Se você imaginar uma linha de pontos alinhados sem interrupção, temos o que chamamos de reta. E assim por diante.

Agora, vamos falar sobre poliedros. Esses são sólidos geométricos que existem no nosso espaço tridimensional, e são limitados por partes de planos - vocês provavelmente já os viram em formas como cubos ou pirâmides. Estes poliedros, que possuem forma, ocupam um determinado espaço, e têm uma posição definida no espaço, também são um importante tópico de estudo na Geometria de Posição.

Um mapa mental com alguns conceitos básicos de Geometria Espacial! Fonte: 

Vamos falar sobre algumas ideias fundamentais em Geometria: ponto, reta, plano e espaço. Mesmo que não possamos definir essas coisas precisamente, elas são as bases de tudo que sabemos sobre Geometria.

Vamos começar com o ponto. Pense no ponto como um local no espaço. Ele não tem forma ou tamanho, é como se fosse um marcador de posição preciso. Por exemplo, se tentássemos usar um quadrado para marcar um local, poderíamos nos perguntar: onde exatamente dentro do quadrado está o local?

Uma reta, que liga um ponto "A" a um ponto "B". Fonte: 

Em seguida, temos a reta. Imagine que você alinhe muitos pontos, todos em uma única direção, sem fazer nenhuma curva. Isso é uma reta. Ela se estende infinitamente em ambas as direções. Agora, embora possamos medir a distância entre os pontos nessa reta, não podemos medir a "largura" da reta, porque, lembre-se, os pontos não têm tamanho. Então, pensamos na reta como um objeto de uma única dimensão.

Agora, se você alinhar várias retas lado a lado, terá um plano. Como um conjunto de retas, o plano é também um conjunto de pontos. Agora, além do comprimento, podemos pensar em termos de largura também. Imagine tentar desenhar um quadrado em uma reta - a maior parte dele não se encaixa, certo? Mas no plano, ele se encaixa perfeitamente. Então, um plano tem duas dimensões.

Finalmente, temos o espaço. Este é o lugar onde toda a Geometria acontece. Se colocarmos planos lado a lado, preenchendo todas as direções, temos o que chamamos de espaço. É aqui que podemos desenhar formas que têm largura, comprimento e também profundidade - então, estamos falando de três dimensões.

As três dimensões do espaço, largura, comprimento e altura. Fonte: 

Assim, cada um desses conceitos – ponto, reta, plano e espaço – é um passo em direção a uma maior complexidade em nossa compreensão do espaço geométrico. E mesmo que não possamos defini-los perfeitamente, são essenciais para a nossa exploração da Geometria.

Diferença entre reta, semirreta e segmento de reta. As setas denotam que há continuação da reta, enquanto os pontos denotam parada. Fonte: 

Vamos distinguir três conceitos muito importantes em geometria: retas, semirretas e segmentos de reta. Parecem similares, mas possuem diferenças sutis.

Vamos falar agora sobre algo chamado posições relativas. Isso se refere à maneira como as figuras no espaço - aquelas que são formadas por retas e planos - se relacionam umas com as outras.

Então, vamos pensar sobre duas retas no espaço. Elas podem ter uma série de relações diferentes entre si. Aqui estão as possibilidades:

Primeiro, temos retas paralelas. Elas estão no mesmo plano - isso é o que chamamos de serem "coplanares" - e nunca se encontram. Imaginem duas linhas de trem que correm lado a lado, mas nunca se cruzam. Essas são as retas paralelas!

Em segundo lugar, temos retas coincidentes. Essas são retas que estão no mesmo plano e compartilham todos os seus pontos. Imagine desenhar uma linha e, em seguida, desenhar exatamente a mesma linha em cima da primeira. Isso seria duas retas coincidentes!

Terceiro, temos retas concorrentes. Elas se encontram em apenas um ponto. Elas não precisam estar no mesmo plano. Pensem em duas linhas se cruzando em um ponto, como um X. Essas são retas concorrentes!

Agora, um tipo especial de retas concorrentes são as perpendiculares. Elas se encontram formando um ângulo de 90º - como o canto de um quadrado ou retângulo.

Por último, temos retas reversas. Elas existem em planos diferentes. É como se elas nunca tivessem a chance de se encontrar porque não estão no mesmo "nível".

Eles podem se relacionar de três maneiras:

Agora, vamos falar sobre as relações entre dois planos:

vamos conversar sobre projeções ortogonais. Imagine que temos uma figura, um objeto qualquer, e queremos projetar sua "sombra" em um plano. Essa "sombra" é o que chamamos de projeção ortogonal.

A projeção ortogonal é formada pela imagem de todos os pontos da figura original projetados no plano. É como se o sol estivesse bem acima de nós, ao meio-dia, e cada ponto da figura projetasse uma linha reta para baixo até o plano, formando uma "sombra".

Mas atenção: a projeção ortogonal nem sempre mantém a mesma forma da figura original. Imaginem um avião que gira 90 graus no ar, de modo que suas asas fiquem na vertical. A "sombra" do avião no solo não mostrará as asas, mesmo sabendo que elas estão lá.

Agora, vamos examinar como diferentes elementos geométricos se projetam:

Exemplo de projeção de uma pirâmide em diferentes planos. Fonte: 

Então, da próxima vez que você olhar para a sombra de algo, pense sobre como é realmente uma projeção ortogonal.