Planejativo

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Alguns pontos-chave dessa matéria para o ENEM que devem ser levados em conta ao estudarmos são:

Hoje vamos embarcar em uma jornada geométrica e aprender sobre uma forma tridimensional bastante conhecida: o cone. Vocês já viram um cone antes, certo? Pensem em um sorvete ou um chapéu de festa, ambos têm a forma de um cone. Vamos explorar mais a fundo o que faz de um cone, um cone!

O cone é uma figura geométrica tridimensional que tem uma base plana e uma única face curva que se une à base. Ele tem um formato afunilado - largo na base e estreitando-se até um ponto no topo, que chamamos de vértice. Se você imaginar uma pirâmide, mas em vez de ter uma base e faces planas, tem uma base circular e uma face curva, você tem um cone.

Alguns dos componentes de um cone. Fonte: 

Agora que sabemos o formato de um cone, vamos identificar seus componentes principais. Eles são:

Bem, os cones podem ser classificados em diferentes tipos, dependendo da posição do seu eixo em relação à base. Então, vamos mergulhar nisso.

Os dois tipos principais de cone. Fonte: 

O primeiro tipo de cone que vamos aprender é o cone reto. No cone reto, a altura (ou o eixo) é perpendicular à base. Imagine uma linha reta descendo do vértice e atravessando o centro da base. Essa linha forma um ângulo de 90 graus com a base. Então, todas as geratrizes, ou as linhas que vão do vértice à borda da base, são iguais em comprimento. Podemos usar o Teorema de Pitágoras para descrever a relação entre a altura (h), o raio da base (r) e a geratriz (g): g² = h² + r². Uma maneira legal de pensar sobre o cone reto é como um "cone de revolução", que seria como se pegássemos um triângulo retângulo e girássemos em torno de um de seus catetos.

Agora vamos falar sobre o segundo tipo de cone, o cone oblíquo. No cone oblíquo, a altura (ou o eixo) não é perpendicular à base da figura. Isso significa que se você desenhar uma linha do vértice ao centro da base, essa linha não formará um ângulo de 90 graus com a base.

Você também deve saber que existe um tipo especial de cone chamado "cone elíptico". Este tipo de cone tem uma base que é uma elipse, e pode ser tanto um cone reto quanto um cone oblíquo.

Principais fórmulas de um cone reto. Fonte: 

A base de um cone é um círculo. Então, para calcular a área da base, nós usamos a fórmula da área do círculo:

Aqui, "Ab" representa a área da base, "π" é a famosa constante Pi (aproximadamente 3,14), e "r" é o raio da base do nosso cone.

A área lateral de um cone é um pouco mais complexa. Ela é a área da superfície curvada que vai do vértice até a borda da base, formada pela geratriz do cone. E nós temos uma fórmula especial para calcular isso:

Nessa fórmula, "Al" é a área lateral, "π" é o Pi, "r" é o raio e "g" é a geratriz do cone, ou seja, a linha que vai do vértice à borda da base.

A área total de um cone é simplesmente a soma da área da base e da área lateral. Então nós temos a seguinte fórmula para calcular isso:

Aqui, "At" é a área total do cone, "π" é o Pi, "r" é o raio e "g" é a geratriz.

Por último, mas não menos importante, vamos falar sobre o volume de um cone. O volume é o espaço tridimensional que o cone ocupa, e nós temos uma fórmula especial para isso também:

Nessa fórmula, "V" é o volume, "π" é o Pi, "r" é o raio e "h" é a altura do cone.

Essas fórmulas são suas ferramentas para trabalhar com cones.

Fórmulas de um Cone Equilátero. Fonte: 

Agora que já temos uma boa ideia dos cones em geral, que tal nos aprofundarmos um pouco mais e explorarmos um tipo especial de cone? Hoje, nosso convidado especial é o 

Um cone é chamado de equilátero quando o raio da base (r) é igual à altura do cone (h). Isso pode parecer estranho no começo, mas esses cones têm algumas propriedades muito legais.

Visualmente, imagine um triângulo equilátero (um triângulo onde todos os lados são iguais). Agora imagine que você gira este triângulo em torno de um de seus lados. O sólido gerado é um cone equilátero!

No cone equilátero, o raio da base é igual à altura, então em nossas fórmulas, sempre que você vê "r" ou "h", pode substituí-los um pelo outro.

Agora, vamos rever as fórmulas que vimos na última vez, mas com um toque equilátero:

Nenhuma mudança aqui, a área da base é a mesma que vimos antes. Mas lembre-se, no cone equilátero, o raio é igual à altura!

Aqui, temos uma simplificação, pois como r=h, podemos substituir "g" pela fórmula √2h, já que a geratriz de um cone equilátero é √2 vezes a altura. Isso nos dá:

Substituindo r por h e g por √2h, temos:

E aí está! Como você pode ver, o cone equilátero tem algumas fórmulas bem interessantes. Tenha em mente essas fórmulas e, da próxima vez que encontrar um cone equilátero, você estará mais que pronto para lidar com ele!

Um belo mapa mental sobre Tronco de Cone. Fonte: 

Agora, imaginem um cone perfeitamente normal. Conseguiu? Ótimo! Agora imagine que temos uma serra mágica que pode cortar esse cone de uma maneira muito específica. Imaginou? Maravilha! Pois é exatamente isso que faremos para entender o nosso próximo convidado: o 

Ao cortarmos o cone paralelamente à base, o que acontece? Ele se divide em duas partes! A parte de cima é simplesmente um cone menor, mas a parte de baixo, ahh, ela é o que chamamos de tronco de cone. É como se fosse um cone, mas que alguém deu uma aparada no topo.

Vamos conversar sobre as partes que formam esse tronco de cone.

Agora, imagine duas fatias de pizza, uma maior e uma menor. A menor é a nossa base menor (com raio r), e a maior é a nossa base maior (com raio R). Coloque a fatia menor em cima da maior, e você tem um tronco de cone!

O tronco de cone tem algumas fórmulas específicas para calcular coisas como área total e volume, mas vamos deixar isso para outra conversa. Por enquanto, imagine se você pode pegar um cone e transformá-lo em um tronco de cone. Não é incrível o que a matemática pode fazer?

Já entendemos o que é um tronco de cone e quais são suas partes, certo? Agora vamos explorar mais alguns aspectos legais desse sólido geométrico. Lembra do teorema de Pitágoras, certo? Pois é, ele tem uma função aqui também!

Você consegue calcular o valor da geratriz (aquela linha inclinada que falamos antes) de um tronco de cone usando o teorema de Pitágoras, desde que conheça os raios das bases maior e menor e a altura do tronco de cone. Isso resulta na seguinte fórmula:

E se quisermos saber o volume, aquele espaço que o tronco de cone ocupa? Bom, temos uma fórmula para isso também! Mas, para calculá-lo, precisamos conhecer a altura, o raio da base maior e o raio da base menor.

Se você já montou um brinquedo de papel, deve saber que antes de se tornar um objeto 3D, ele era um desenho 2D. Esse é o conceito de planificação: é como se "desdobrássemos" nosso tronco de cone para exibir todas as suas faces em um único plano.

Se você quiser descobrir o tamanho total da superfície do tronco de cone (imagine que você queira pintá-lo, por exemplo), você precisará calcular a área total. E como fazemos isso? Simplesmente somamos as áreas das três partes do tronco de cone: as duas bases (um círculo maior e um círculo menor) e a área lateral. Fica assim: