Planejativo

Estudo do ponto

Ângulos

Semelhança de triângulos

Polígonos

Quadriláteros e Hexágonos

Circunferência e Círculo

Geometria de posição: Posições relativas e Projeção ortogonal

Poliedros

Cilindros

Cones e Troncos de cones

Esferas

Estudo da reta

Estudo da circunferência

Triângulo retângulo: relações métricas

Triângulo equilátero

Lei dos senos e dos cossenos

Triângulo retângulo: relações trigonométricas

Teorema de Tales

Pirâmides e Troncos de pirâmides

Prismas

Sólidos inscritos

Alguns pontos-chave dessa matéria para o ENEM que devem ser levados em conta ao estudarmos são:

Antes de estudarmos o ponto, vamos ver o que é a disciplina de Geometria Analítica! Fonte: 

A Geometria Analítica, pessoal, é como um super-herói da Matemática. Ela combina o melhor de dois mundos, a beleza visual da Geometria e a precisão nítida da Álgebra, para nos ajudar a entender e resolver problemas complexos de formas e sólidos geométricos.

Agora, quem podemos agradecer por essa ferramenta incrível? A resposta é René Descartes, um matemático francês super inteligente que viveu há muito tempo atrás, no século XVII. Descartes decidiu juntar Geometria e Álgebra, criando o que chamamos de sistema de coordenadas cartesianas. Acreditem ou não, essa é a razão pela qual chamamos de "coordenadas geométricas" também.

Vamos fazer uma viagem rápida no tempo! No século XVII, Descartes criou princípios matemáticos que permitiram a análise de coisas como pontos, retas e circunferências usando métodos geométricos. Essa abordagem revolucionária nos permitiu determinar distâncias entre esses elementos, localizá-los e muito mais.

O que torna a Geometria Analítica realmente especial é que ela nos permite definir formas geométricas de maneira numérica. Ou seja, podemos pegar uma figura geométrica e obter informações valiosas dela em forma de números. Legal, né? Graças a isso, a Matemática se tornou uma disciplina ainda mais poderosa para explicar e ilustrar coisas relacionadas ao espaço em que vivemos.

Aqui entra algo ainda mais emocionante: os vetores! Os vetores são como setas que têm tamanho, direção e sentido. Eles são super úteis na Física para ajudar a resolver cálculos relacionados a várias áreas, como Movimento Vetorial, Dinâmica e Campo Elétrico. Imagine vetores como flechas guiando você pela Matemática!

E, finalmente, não podemos esquecer de dois outros cientistas incríveis, Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz. Eles fizeram um trabalho enorme na Geometria Analítica, o que levou ao surgimento do Cálculo Diferencial e Integral. E adivinhem? Essas ferramentas são usadas o tempo todo em campos como a Engenharia.

a) Áreas da Geometria Analítica no Ensino Médio

Um belo mapa mental com alguns tópicos de Geometria Analítica. Fonte: 

Hoje, começaremos pelo básico, pelo fundamental: o estudo do ponto.

Este é o nosso mapa para a jornada pela Geometria Analítica. Cada parada nessa aventura nos ajudará a entender melhor esse maravilhoso mundo da Matemática. Então, ajustem seus cintos de segurança, pois nossa jornada pelo estudo do ponto está prestes a começar!

Relembre o plano cartesiano antes de começarmos com a geometria analítica! Fonte: 

Ei, pessoal! Lembrem-se de nossas incríveis explorações anteriores pelo universo da Matemática? Claro que sim, certo? Bem, um desses pontos turísticos que visitamos foi o Plano Cartesiano! Foi uma viagem divertida, não foi?

O Plano Cartesiano, com seus eixos x e y cruzando-se no originador ponto (0,0), é o palco onde todos os nossos pontos, retas e formas vão dançar. É o mapa que nos ajuda a localizar cada ponto de interesse em nosso estudo da Geometria Analítica. E tem sido um companheiro confiável em nossa jornada matemática até agora, não é mesmo?

Agora, aqui está o negócio: vamos precisar da ajuda do Plano Cartesiano novamente em nossa nova aventura pela Geometria Analítica. E vocês sabem como é importante estar preparado, certo?

Portanto, aqui está o seu dever de casa: por favor, tirem um tempinho para revisitar nossas aulas sobre o Plano Cartesiano. Dê uma olhada em suas notas, confira os exemplos e experimente alguns problemas por conta própria. Queremos que vocês estejam bem familiarizados com ele, porque será a nossa base para explorar o mundo maravilhoso dos pontos, retas, circunferências e cônicas!

Hoje, vamos mergulhar em um dos alicerces mais fundamentais da Geometria Analítica. Preparem-se, porque vamos falar sobre a incrível habilidade de representar pontos de uma linha usando nada menos que nossos amigos os números reais. Sim, isso mesmo! Cada ponto único em uma linha reta pode ser representado por um único número real, e aqui está a melhor parte: esse número real é basicamente a distância entre o ponto em questão e a origem da linha reta, aquele ponto especial que chamamos de zero. Legal, né?

E agora, uma curiosidade, sabem qual é um dos conceitos mais importantes em Geometria Analítica? É a distância! É dela que derivam outros conceitos vitais, como círculos e circunferências. Além disso, grande parte das definições algébricas das figuras geométricas que conhecemos vêm daí, acredita? A distância é o segredo!

Com o tempo, essa ideia legal de representar pontos em uma linha evoluiu para algo ainda mais emocionante. Começamos a representar pontos em um plano, de modo que cada ponto único no plano poderia ser representado por um par único de números reais, o que chamamos de par ordenado. Pense no par ordenado (2,1), por exemplo, ele representa um ponto específico no plano, o ponto A.

Mas a matemática nunca para de evoluir, e nós também não! Então, o que vem depois do plano? O espaço, é claro! No espaço, um ponto é representado por um trio de números reais, os chamados ternos ordenados. Cada terno ordenado representa apenas um único ponto no espaço.

Se você está pensando "uau, isso é muita informação", aqui vai uma dica útil para ajudar a lembrar: o número de coordenadas que um ponto tem é igual ao número de dimensões do espaço em que esse ponto está. Então, um ponto em uma linha (uma dimensão) tem uma coordenada, um ponto em um plano (duas dimensões) tem duas coordenadas, e um ponto no espaço (três dimensões) tem três coordenadas. Parece mágico, não é?

E essa é a beleza da Geometria Analítica, pessoal. Ela nos permite visualizar e entender o mundo ao nosso redor de maneiras incríveis, tudo graças à maravilhosa linguagem da matemática!

Agora, para começar, vamos imaginar que temos dois pontos no espaço. Como podemos calcular a menor distância entre eles? Bem, na Geometria, aprendemos que a menor distância entre dois pontos é uma linha reta. Simples assim.

Então, se estamos falando de Geometria Analítica, onde juntamos os mundos da Geometria e da Álgebra, nós adicionamos um elemento a mais: as coordenadas. Cada ponto no plano cartesiano possui coordenadas. E é exatamente com essas coordenadas que vamos calcular a distância entre dois pontos.

Pensem em dois pontos quaisquer em um plano cartesiano, vamos chamá-los de A e B. A distância entre A e B é justamente a medida do segmento de linha que começa em A e termina em B. Vamos representar esses pontos com coordenadas genéricas porque eles são quaisquer pontos no plano.

Agora, deixem-me mostrar como isso funciona em um desenho.

Mas lembrem-se, nossos eixos no plano cartesiano são ortogonais, ou seja, formam um ângulo reto entre si. Isso significa que podemos formar um triângulo retângulo usando os pontos A e B e as linhas dos eixos. E essa informação é fundamental para calcular a distância entre os pontos. Pois bem, a hipotenusa desse triângulo é justamente o segmento AB, que representa a distância entre os pontos A e B.

Como é um triângulo retângulo, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras. O quadrado da hipotenusa (neste caso, a distância AB) é igual à soma dos quadrados dos catetos (neste caso, AO e BO).

Então, podemos expressar AO como a diferença entre as coordenadas x de B e A. Da mesma forma, BO é a diferença entre as coordenadas y de B e A. Com isso, temos:

Quadrado da distância AB = (Coordenada x de B - Coordenada x de A)² + (Coordenada y de B - Coordenada y de A)².

Ou, representando a distância AB, temos:

Então, galera, para calcular a distância entre dois pontos, é só pegar as coordenadas x e y de cada ponto, fazer a diferença entre elas, elevar ao quadrado e somar os resultados. Muito legal, não é?

Vamos pensar no segmento de reta AB. Ele tem vários pontos alinhados, mas existe apenas um ponto que divide esse segmento exatamente ao meio. Esse ponto especial é o ponto médio, que vamos chamar de M.

No plano cartesiano, o ponto médio M tem coordenadas (xM, yM). Se desenharmos um triângulo com os pontos A, M e um terceiro ponto N, e outro triângulo com os pontos A, B e um ponto P, você vai perceber que esses dois triângulos são semelhantes, pois têm os mesmos ângulos.

Daí, podemos aplicar uma propriedade dos triângulos semelhantes. Os comprimentos dos lados correspondentes desses triângulos estão na mesma proporção. Ou seja, a relação entre o comprimento de AM e AN é igual à relação entre AB e AP.

Agora, lembre-se que M é o ponto médio de AB. Portanto, AB é duas vezes o comprimento de AM. Então, se rearranjarmos a equação, temos que xP - xA = 2*(xM - xA).

Isso leva à equação xM = (xA + xB)/2. Com um raciocínio semelhante, chegamos à equação yM = (yA + yB )/2.

Ou seja, para achar as coordenadas do ponto médio de qualquer segmento no plano cartesiano, é só calcular a média das coordenadas x e y dos pontos nas extremidades. Isto é,

Então é isso, pessoal. Na próxima aula, vamos praticar o cálculo do ponto médio com alguns exemplos. Até lá!

No estudo da geometria analítica, trabalhamos bastante com cálculos de coordenadas e distâncias entre pontos. Hoje, vamos focar em um conceito bem especial: o baricentro de um triângulo.

Você sabe, o triângulo é uma figura que aparece bastante na matemática e em aplicações práticas, como na construção civil. Ele tem várias propriedades interessantes, mas hoje vamos nos concentrar no baricentro.

O baricentro de um triângulo é o ponto onde as três medianas se encontram. Uma mediana é um segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. E uma coisa legal sobre o baricentro é que ele sempre existe, independentemente do tipo de triângulo que temos. Vamos ilustrar isso com um triângulo ABC, onde M, N e P são os pontos médios dos lados BC, AB e AC, respectivamente.

Vamos imaginar que traçamos as medianas do triângulo, e elas se cruzam em um ponto G. Esse ponto G é o baricentro do nosso triângulo.

Agora, se temos um triângulo no plano cartesiano, podemos expressar o baricentro em termos das coordenadas dos vértices do triângulo. Vamos considerar que as coordenadas dos vértices A, B e C são (xA, yA), (xB, yB) e (xC, yC), respectivamente.

As coordenadas do baricentro G são então determinadas pela seguinte fórmula:

Então, veja só, se conhecemos as coordenadas dos vértices do triângulo, podemos calcular as coordenadas do baricentro. Mas também funciona ao contrário: se conhecemos as coordenadas do baricentro e de dois vértices, podemos usar essas fórmulas para encontrar a coordenada do terceiro vértice.

Agora vamos embarcar em uma viagem emocionante ao mundo das matrizes, determinantes e... três pontos alinhados no espaço! Vamos tentar fazer com que este assunto complicado se torne o mais divertido possível. Então, apertem os cintos, porque vamos decolar para a Matrizlândia!

Em primeiro lugar, vocês precisam saber que podemos verificar se três pontos estão alinhados usando um truque esperto com uma matriz de ordem 3x3. Opa, você aí, já posso ver os seus olhos arregalados! Mas não se preocupem, vou mostrar como é fácil.

Vamos pegar três pontos - chamaremos eles de A, B e C - no plano cartesiano. As coordenadas deles são as seguintes:

Agora, preste atenção! Vamos formar uma matriz 3x3 com essas coordenadas. A primeira coluna terá as coordenadas 'x' (as abscissas), a segunda coluna terá as coordenadas 'y' (as ordenadas), e a terceira coluna? Bem, para manter tudo legal e arrumado, preencheremos ela toda com o número 1.

Aí entra um personagem muito importante nesta história, o nosso herói, chamado Sarrus! É ele quem nos dá a fórmula para calcular o determinante de uma matriz 3x3. Com a matriz formada, usamos a Regra de Sarrus e se o resultado for zero, tchanã! Os pontos A, B e C estão alinhados, ou seja, são colineares.

Agora, vou mostrar como a mágica acontece! A Regra de Sarrus se parece com isto:

[𝑥1𝑦2] + [𝑦1𝑥3] + [𝑥2𝑥3] - [𝑦1𝑥2] - [𝑥1𝑦3] - [𝑦2𝑥3] = 0

Se esta fórmula der zero, você acabou de provar que A, B e C estão todos em uma linha reta! Parabéns, você acaba de se tornar um mágico das matrizes e determinantes!