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Geometria de posição: Posições relativas e Projeção ortogonal

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Estudo da circunferência

Triângulo retângulo: relações métricas

Triângulo equilátero

Lei dos senos e dos cossenos

Triângulo retângulo: relações trigonométricas

Teorema de Tales

Pirâmides e Troncos de pirâmides

Prismas

Sólidos inscritos

Alguns pontos-chave dessa matéria para o ENEM que devem ser levados em conta ao estudarmos são:

Um breve mapa mental sobre a Reta em Geometria Analítica. Fonte na própria imagem.

Hoje vamos iniciar o nosso estudo analítico das retas, um conceito fundamental na matemática que será muito importante para o nosso aprendizado.

Então, o que é uma reta? Bem, imagine uma linha que vai infinitamente para os dois lados. Ela não faz curvas, não tem início e nem fim. Esse é o conceito básico de uma reta na matemática. Nós a representamos utilizando letras minúsculas e os pontos que estão sobre ela são indicados por letras maiúsculas.

Vocês devem estar se perguntando: 'Onde encontramos essas retas?' Bem, as retas são utilizadas tanto na geometria plana quanto na geometria espacial. Na geometria plana, temos as 'retas no plano', e na geometria espacial, temos as 'retas no espaço'. Importante lembrar: as retas são diferentes das linhas, porque não fazem curvas.

Vamos agora falar um pouco sobre as propriedades das retas:

Esse conceito é essencial para muitos tópicos que iremos explorar mais tarde, como as equações de retas e a relação entre retas e ângulos. Portanto, é muito importante que vocês entendam bem o que são as retas.

Ótimo, vamos explorar as diferentes maneiras pelas quais as retas podem se relacionar umas com as outras. Lembrem-se de que duas retas podem se relacionar de várias maneiras diferentes, dependendo de como estão dispostas no espaço.

A classificação mais básica é a acima, onde separamos de acordo com a posição horizontal e vertical. Abaixo, vemos outras classificações.

Agora que temos uma compreensão básica de como as retas podem se relacionar umas com as outras, podemos explorar isso ainda mais em problemas de matemática e geometria.

Lembrem-se de que dissemos que uma reta tem infinitos pontos, certo? Pois bem, para representar essa mesma reta no plano cartesiano, só precisamos de dois desses infinitos pontos. Isso ocorre porque dois pontos distintos serão sempre colineares, ou seja, estarão na mesma linha.

Mas a matemática, sempre surpreendente, nos mostra que podemos ir além. No estudo da geometria analítica, aprendemos que não é necessário ter dois pontos distintos para formar uma reta. Podemos construir uma reta no plano cartesiano conhecendo apenas um de seus infinitos pontos e sabendo o valor do ângulo que essa reta forma com o eixo Ox.

Agora, vocês devem estar se perguntando: "Como é que isso funciona?" Vamos lá: esta outra forma de representar uma reta é feita levando em consideração a inclinação da reta e o seu coeficiente angular.

Imagine uma reta s que intercepta o eixo Ox no ponto M. Essa reta s forma um ângulo β com o eixo Ox. A medida desse ângulo é feita no sentido anti-horário a partir de um ponto no eixo Ox. Assim, podemos dizer que a reta s tem uma inclinação de β e o seu coeficiente angular (m) é igual a: m = tg β.

A inclinação da reta varia entre 0° ≤ β <180°

Exemplo 1: Imagine uma reta "s" que forma um ângulo de 30° com o eixo Ox. Nesse caso, a inclinação é de 30° e o coeficiente angular é: m = tg 30° = 0.577.

Exemplo 2: Agora, suponha uma reta "t" que forme um ângulo de 90° com o eixo Ox. Aqui, a inclinação é de 90° e o coeficiente angular é: m = tg 90° = ∞. Isso indica uma reta vertical!

Exemplo 3: Por último, vamos considerar uma reta "u" que forme um ângulo de 0° com o eixo Ox. Nesse caso, a inclinação é de 0° e o coeficiente angular é: m = tg 0° = 0. Isso representa uma reta horizontal!

Tente desenhar para ilustrar estes conceitos!

Muito bem, agora que já temos uma boa base sobre as retas e como elas podem se relacionar, vamos nos aprofundar em um conceito fundamental: a equação da reta.

 é uma maneira de representar qualquer reta no plano usando matemática. Essa equação depende de um ponto específico na reta, que vamos chamar de P_A (xA, yA), e do coeficiente angular da reta, que vamos chamar de m.

Podemos representar a equação fundamental da reta da seguinte forma: y - yA = m (x - xA)

Algumas observações importantes sobre esta equação:

Por exemplo, suponha que temos uma reta que passa pelo ponto A (-1,4) e tem coeficiente angular 2. A equação fundamental dessa reta seria: y - 4 = 2 (x + 1)

, que é uma forma alternativa de representar uma reta. Esta equação tem a seguinte forma: ax + by + c = 0

A, b e c são números reais e, pelo menos um entre a e b, precisa ser diferente de zero. Um dos métodos para determinar a equação geral da reta envolve o uso de uma matriz determinante.

Por exemplo, se tivermos os pontos (1,3), (2,4) e um ponto genérico P= (x, y) da reta, podemos usar a matriz determinante para calcular a equação geral da reta. A matriz determinante é uma matriz 3x3 com as coordenadas dos pontos nas primeiras duas colunas e a terceira coluna é formada por 1, da seguinte forma:

Ao considerarmos os pontos (1, 3) e (2, 4), juntamente com um ponto genérico P = (x, y) pertencente à reta, o cálculo da equação geral da reta usando uma matriz 3x3 segue os seguintes procedimentos:

Dado os pontos (1,3), (2,4) e um ponto genérico P= (x, y) da reta, o cálculo da equação geral da reta, através da matriz 3x3, segue os seguintes passos:

1- Faça a replicação das duas primeiras colunas para a direita.

2- Localize as diagonais principais, destacadas em vermelho, e as diagonais secundárias, destacadas em azul.

3- Realize a operação de multiplicação entre os elementos das diagonais principais e secundárias, e em seguida some os resultados obtidos. Nas diagonais principais, atribua um sinal positivo, enquanto nas diagonais secundárias, atribua um sinal negativo.

utilizar a equação geral da reta, que é representada por y - A = m(x - A), e selecionar um ponto em que a reta intercepta o eixo y em um valor específico (0, n), juntamente com outro ponto (x1, y1), obtemos a seguinte expressão que representa a forma reduzida da equação da reta: y - n = m(x - 0) --> y - n = mx --> y = mx + n

A equação reduzida também pode ser derivada a partir da equação geral da reta.

Agora vamos brevemente tocar em outros dois tipos de equações que podem ser usadas para representar retas: as equações paramétricas e as equações segmentárias.

 envolvem a utilização de um terceiro parâmetro, geralmente denotado por t, além de x e y. A reta é representada por um par de equações, uma para x e outra para y, ambas em termos de t. Por exemplo, as equações paramétricas da reta poderiam ser: x = x1 + t(a), y = y1 + t(b), onde (x1, y1) é um ponto na reta e (a, b) é um vetor diretor da reta.

, por outro lado, são baseadas na proporção entre as distâncias dos pontos em uma reta a dois pontos fixos. A equação tem a forma x/a + y/b = 1, onde a e b são as distâncias dos pontos à origem.

Apesar de serem formas válidas e úteis de representar retas, as equações paramétricas e segmentárias da reta não são comumente cobradas no ENEM. O foco principal tende a ser nas equações gerais e nas equações reduzidas das retas. No entanto, é sempre bom ter uma compreensão completa desses conceitos, pois eles podem ser úteis em outras áreas da matemática e em problemas mais complexos.

d) Condições para a posição das retas

Claro, vamos dar continuidade ao nosso estudo de retas no plano, desta vez concentrando-se em como determinar se duas retas são concorrentes, paralelas ou perpendiculares.

Duas retas são concorrentes se elas se interceptam em um ponto. Matematicamente, isso significa que elas compartilham uma solução comum (x, y). Se tivermos as equações de duas retas, digamos y₁ = m₁x + c₁ e y₂ = m₂x + c₂, então elas serão concorrentes se conseguirmos encontrar um par de valores (x, y) que satisfaça ambas as equações simultaneamente.

Duas retas são paralelas se e somente se seus coeficientes angulares são iguais. Em outras palavras, se tivermos duas retas y₁ = m₁x + c₁ e y₂ = m₂x + c₂, elas serão paralelas se m₁ = m₂. Observe que os termos independentes c₁ e c₂ não precisam ser iguais para que as retas sejam paralelas. Isso porque os termos independentes determinam onde a reta cruza o eixo y, mas não a inclinação da reta.

Duas retas são perpendiculares se e somente se o produto de seus coeficientes angulares for -1. Lê-se 

Isto é, se tivermos duas retas y₁ = m₁x + c₁ e y₂ = m₂x + c₂, elas serão perpendiculares se m₁*m₂ = -1. Esse critério se origina do fato de que a tangente do ângulo entre duas retas é a diferença de seus coeficientes angulares. Portanto, para que o ângulo seja de 90 graus (ou π/2 radianos), essa diferença deve ser indefinida, o que ocorre quando o produto dos coeficientes angulares é -1.

Essa é uma habilidade muito útil quando você quer saber o quão longe um ponto está de uma determinada reta. Se imagine num parque, e você está tentando determinar a distância mais curta entre onde você está (o ponto) e um caminho no parque (a reta). Você faria uma linha reta do ponto onde você está até o caminho, certo? Essa linha representaria a distância mais curta entre o ponto e a reta.

Agora, vamos traduzir isso em termos matemáticos. Primeiro, precisamos entender que essa linha de distância mais curta é sempre perpendicular à reta. Isto é, ela forma um ângulo de 90 graus com a reta, assim como um degrau faz com um corrimão.

Suponha que temos uma reta, cuja equação geral é ax + by + c = 0, e um ponto P, com coordenadas (x₀, y₀). A distância entre o ponto P e a reta pode ser calculada usando a seguinte fórmula:

Vamos quebrar isso. O numerador desta fórmula é o resultado de substituir as coordenadas do ponto na equação da reta. Já o denominador é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos coeficientes da reta (a e b). O módulo é usado para garantir que a distância seja sempre um valor positivo, já que a distância não pode ser negativa.

Então, quando você encontrar um problema que envolva encontrar a distância entre um ponto e uma reta, agora você tem a ferramenta que precisa para resolvê-lo