Planejativo

Teoria geral de funções

Teoria dos conjuntos

Conjuntos numéricos e Intervalos reais

Progressão aritmética (PA)

Progressão geométrica (PG)

Função constante e Função afim

Função do segundo grau (quadrática)

Função exponencial

Propriedades dos logaritmos

Função modular

Matriz e Determinante

Função logarítmica

Função composta e Função inversa

Funções trigonométricas

Alguns pontos-chave dessa matéria para o ENEM que devem ser levados em conta ao estudarmos são:

1. Teoria Geral de Funções: Introdução

Alguns conceitos básicos de função, que exploraremos mais adiante! Fonte: 

A teoria geral de funções é um ramo da matemática que estuda funções e suas propriedades, como os diferentes tipos de funções, suas características, comportamentos e aplicações. Compreender a teoria geral de funções é fundamental para a matemática, uma vez que as funções são usadas em quase todos os campos dessa disciplina e em muitas outras áreas, como física, engenharia e ciências da computação.

O conceito básico de função é o de uma relação entre dois conjuntos, geralmente chamados de domínio e contradomínio, em que a cada elemento do domínio corresponde exatamente um elemento no contradomínio. Isso é representado como f: A → B, onde A é o domínio, B é o contradomínio e f é a função.

Existem diversos tipos de funções, cada uma com suas características e propriedades específicas. Algumas das funções mais comuns incluem:

Na imagem acima, vemos o que é e o que não é uma função. Fonte: 

O conceito de função é um dos pilares fundamentais da matemática e desempenha um papel crucial na compreensão de muitos fenômenos do mundo real. O conceito básico envolve a relação entre dois conjuntos e a associação que conecta os elementos desses conjuntos. Uma função é estabelecida quando cada elemento do primeiro conjunto, chamado domínio, está associado a um único elemento do segundo conjunto, denominado contradomínio.

As funções desempenham um papel significativo em diversas áreas e são aplicadas em inúmeros contextos. Por exemplo, considere a tabela de preços de uma loja: cada produto está associado a um preço específico. Nesse caso, o conjunto de produtos forma o domínio, e o conjunto de preços forma o contradomínio da função que relaciona produtos a preços.

Outra situação em que as funções são aplicadas é no cálculo do valor a ser pago em uma conta de luz. O preço a ser pago depende da quantidade de energia consumida. Neste exemplo, a quantidade de energia consumida forma o domínio, e os valores a serem pagos compõem o contradomínio da função que relaciona o consumo de energia ao valor da conta.

Na imagem de início do tópico, vemos como a relação entre o domínio e o contradomínio se dão, explicitando o que é e o qeu não é uma função.

Função: A Máquina que transforma números, de maneira consistente. Fonte: 

Uma analogia comum para ajudar a entender o conceito de função é imaginá-la como uma máquina que transforma números. Essa "máquina de funções" recebe um número de entrada, aplica uma regra específica e produz um número de saída correspondente.

Aqui está uma descrição passo a passo da máquina de funções:

Vamos ilustrar essa analogia com um exemplo simples. Suponha que temos uma função f(x) = 2x + 3. Podemos imaginar a "máquina de funções" como se segue:

Assim, ao inserir o número 4 (do conjunto domínio), a máquina de funções nos deu o número 11 (do conjunto contradomínio) como resultado. Essa analogia ajuda a visualizar como uma função opera, transformando números de entrada em números de saída de acordo com uma regra específica.

O domínio e a imagem de uma função são dois conceitos fundamentais para entender as propriedades e o comportamento de uma função matemática.

Por exemplo, considere a função f(x) = 1/(x-2). O domínio dessa função será o conjunto de todos os números reais, exceto x = 2, pois a divisão por zero é indefinida. Portanto, o domínio de f(x) é {x ∈ R: x ≠ 2}.

Por exemplo, considere a função g(x) = x². Neste caso, o domínio é o conjunto de todos os números reais. No entanto, o valor de g(x) será sempre um número real não negativo, já que o quadrado de qualquer número real é não negativo. Portanto, a imagem de g(x) é {y ∈ R: y ≥ 0}.

Em resumo, o domínio de uma função é o conjunto de valores de entrada para os quais a função está definida, enquanto a imagem é o conjunto de valores de saída que podem ser obtidos ao aplicar a função aos elementos do domínio. Esses dois conceitos são cruciais para entender e analisar as propriedades e o comportamento de funções matemáticas.

Vamos destacar as duas propriedades importantes mencionadas:

1ª) O domínio deve sempre coincidir com o conjunto de partida: Isso significa que todos os elementos do conjunto domínio (A) devem estar relacionados à função. Em outras palavras, cada elemento do conjunto domínio (A) deve ser o ponto de partida de uma flecha. Se houver um elemento em A do qual não parta uma flecha, a relação não é uma função.

2ª) De cada elemento de A deve partir uma única flecha: Isso implica que cada elemento do conjunto domínio (A) deve estar relacionado a apenas um elemento no conjunto contradomínio (B). Se houver mais de uma flecha partindo de um único elemento de A, a relação não é uma função.

Pense em uma função como uma máquina que transforma números. Quando você coloca um número na máquina, ela aplica uma regra e produz um novo número como resultado. O domínio e a imagem são conceitos que nos ajudam a entender quais números podemos colocar na máquina e quais números podemos obter dela.

Por exemplo, imagine uma máquina que calcula a metade de um número (função f(x) = x/2). Podemos colocar qualquer número nela, e ela nos dará a metade desse número. Portanto, o domínio dessa máquina inclui todos os números.

Usando o exemplo da máquina que calcula a metade de um número, podemos obter qualquer número como resultado, pois a metade de qualquer número é sempre um número válido. Portanto, a imagem dessa máquina também inclui todos os números.

Então, de maneira simples e didática, o domínio é o conjunto de números que podemos usar como entrada em uma função (a lista de ingredientes), e a imagem é o conjunto de números que podemos obter como resultado (a lista de resultados possíveis).

Aqui estão os passos para obter a imagem de uma função:

Agora, vamos analisar alguns exemplos e obter suas imagens:

Exemplo 1: Função quadrática f(x) = x²

Lemos, y pertence aos reais, tal que y é maior ou igual a zero.

Exemplo 3: Função raiz quadrada f(x) = √x

Antes de seguirmos para esta etapa, é importante sabermos o básico (como mostrado no mapa mental) sobre o plano cartesiano. Fonte na própria imagem.

Para montar o gráfico de uma função, você precisa seguir alguns passos simples. Vamos usar a função linear f(x) = 2x + 1 como exemplo.

Identifique a função: A função que queremos analisar é f(x) = 2x + 1.

Escolha valores de x: Selecione alguns valores de x (entrada) para calcular os valores correspondentes de f(x) (saída). Você pode escolher números inteiros, por exemplo: -2, -1, 0, 1 e 2.

Calcule os valores de f(x): Use a função para calcular os valores correspondentes de f(x) para cada valor de x escolhido. Para a função f(x) = 2x + 1:

Crie uma tabela com os valores de x e f(x): Liste os valores de x e seus respectivos valores de f(x) em uma tabela.

Plote os pontos no gráfico: Desenhe um sistema de coordenadas cartesianas (eixos x e y) e marque os pontos correspondentes aos pares (x, f(x)) no gráfico. Neste exemplo, os pontos são (-2, -3), (-1, -1), (0, 1), (1, 3) e (2, 5).

Conecte os pontos: Para a função linear f(x) = 2x + 1, conecte os pontos traçando uma linha reta que passa por todos eles. Para outras funções, como quadráticas ou trigonométricas, a conexão dos pontos pode formar curvas ou padrões específicos.

Analise o gráfico: O gráfico mostra a relação entre x e f(x) e permite analisar visualmente propriedades como crescimento, decrescimento, máximos, mínimos e assim por diante.

Seguindo esses passos, você pode montar o gráfico de uma função simples. Note que, dependendo da função, pode ser necessário escolher valores diferentes de x ou até mesmo usar uma abordagem diferente para traçar o gráfico, como no caso de funções trigonométricas ou logarítmicas.

Abscissa e ordenada são termos usados para descrever as coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas cartesianas, também conhecido como plano cartesiano. Esse sistema consiste em dois eixos perpendiculares, um horizontal (eixo x) e um vertical (eixo y), que se cruzam no ponto chamado de origem (0, 0).

Todos os pontos que tocam o eixo das abcissas, o eixo "x", são considerados raízes. Fonte: 

As raízes de uma função, também conhecidas como zeros ou soluções, são os valores de x (abscissa) para os quais a função produz um valor de y (ordenada) igual a zero. Em outras palavras, as raízes são os pontos onde a função cruza o eixo x no gráfico.

f) Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras

Uma breve descrição destes 3 tipos de funções. Fonte na própria imagem.

Vamos explicar de forma didática os três conceitos importantes relacionados a funções: funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras. Imagine uma função como uma máquina que associa elementos do conjunto A (domínio) a elementos do conjunto B (contradomínio).

Uma função é injetora quando cada elemento do conjunto domínio (A) está associado a um elemento único do conjunto contradomínio (B), e nenhum elemento de B é associado a mais de um elemento de A. Em outras palavras, cada elemento em A tem seu próprio "parceiro" exclusivo em B. Não há "sobreposição" no mapeamento.

Nesta função, cada valor de x produz um valor único de f(x), e nenhum valor de f(x) é compartilhado por dois ou mais valores de x. Portanto, é uma função injetora.

Uma função é sobrejetora quando todos os elementos do conjunto contradomínio (B) têm pelo menos um elemento correspondente no conjunto domínio (A). Isso significa que todos os elementos de B são "cobertos" pela função.

Se considerarmos o domínio e o contradomínio como sendo os números reais, essa função não é sobrejetora, pois não há um valor de x que, ao ser elevado ao quadrado, produza um número negativo. Porém, se considerarmos apenas os números reais não negativos como contradomínio, a função passa a ser sobrejetora.

Uma função é bijetora quando é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora. Isso significa que cada elemento do conjunto domínio (A) tem um único "parceiro" no conjunto contradomínio (B), e todos os elementos de B têm exatamente um "parceiro" em A. Uma função bijetora estabelece uma relação "um para um" entre os elementos de A e B.

Se considerarmos o domínio e o contradomínio como sendo os números reais, essa função é bijetora, pois cada valor de x produz um valor único de f(x) (injetora), e todos os valores de f(x) podem ser obtidos a partir de algum valor de x (sobrejetora).