Planejativo

Função exponencial

Teoria dos conjuntos

Conjuntos numéricos e Intervalos reais

Progressão aritmética (PA)

Progressão geométrica (PG)

Teoria geral de funções

Função constante e Função afim

Função do segundo grau (quadrática)

Propriedades dos logaritmos

Função modular

Matriz e Determinante

Função logarítmica

Função composta e Função inversa

Funções trigonométricas

Alguns pontos-chave dessa matéria para o ENEM que devem ser levados em conta ao estudarmos são:

Hoje, vamos abordar um tópico muito legal e extremamente útil, a função exponencial! Você já deve ter ouvido falar sobre isso, não é? E talvez até se perguntado: mas onde isso se aplica no mundo real? Bem, tenho ótimas notícias - a função exponencial está em toda parte em nosso cotidiano!

Por exemplo, você já ouviu falar sobre juros compostos, certo? Quando guardamos dinheiro no banco e ele rende juros, isso é um exemplo de uma função exponencial em ação! E sabe o que mais? A função exponencial também é usada para modelar coisas como a reprodução de bactérias e, até mesmo, o comportamento de novos casos de COVID-19 durante a pandemia em 2020.

Então, vamos começar e aprender mais sobre isso.

A função exponencial tem uma regra geral que é 

. Isso pode parecer complicado, mas é bem simples! "f(x)" é apenas uma maneira elegante de dizer "a função de x", ou seja, o valor que obtemos ao aplicar a função a um número x. E "a

" é o que estamos fazendo com x - estamos elevando a base 'a' ao valor de 'x'.

, o que significa? Bem, isso significa que para qualquer número 'x' que você escolher, você vai pegar o número 2 e elevar ao valor 'x'. Se x=3, por exemplo, f(x) seria 2³, que é igual a 8!

Agora, aqui está uma coisa interessante sobre funções exponenciais - dependendo do valor da base 'a', a função pode aumentar (crescer) ou diminuir (decrescer). Por exemplo, se 'a' for maior que 1, como no nosso exemplo f(x) = 2^x, a função será crescente. Isso significa que, à medida que 'x' aumenta, f(x) também aumenta.

Por outro lado, se 'a' for um número entre 0 e 1, a função será decrescente. Um exemplo seria f(x) = 0,3

. Nesse caso, à medida que 'x' aumenta, f(x) na verdade diminui!

E tem mais um fato interessante: a função inversa da função exponencial é a função logarítmica. Você se lembra que uma função inversa é uma função que "desfaz" o que a função original faz? Então, se tivermos uma função exponencial e, em seguida, aplicarmos sua função inversa, voltaremos ao número original.

Vamos entender a função exponencial de uma forma diferente. Pense nela como uma função que leva números reais e dá como resultado apenas números reais positivos que não são zero. Isso significa que todos os valores possíveis para 'x' vêm do conjunto de números reais (chamamos isso de domínio) e todos os possíveis resultados (ou contradomínio) são apenas os números reais positivos diferentes de zero. A regra de como essa função opera é bem simples: f(x) = ax, onde 'a' é a base e deve ser sempre um número real positivo.

Vamos entender de maneira mais simples e direta os tipos de função exponencial. Imagine que a função exponencial é como um elevador: ele pode subir ou descer, e a direção que ele vai tomar depende da base 'a' na nossa função f(x) = a

Se 'a' é maior do que 1, nosso elevador sobe. Isso quer dizer que nossa função exponencial é crescente, e quanto maior o andar (ou seja, o valor de 'x'), maior será o valor da nossa função (o 'y').

Mas se 'a' está entre 0 e 1, então nosso elevador desce. Nesse caso, nossa função exponencial é decrescente. Imagine que cada vez que descemos um andar (ou seja, aumentamos 'x'), o valor da nossa função (o 'y') diminui.

Agora, como desenhamos isso em um gráfico? Pense que estamos pintando um quadro: para cada valor de 'x' que escolhemos, descobrimos o valor de 'y' usando a nossa função, e marcamos esse ponto no quadro.

Nosso quadro tem quatro quadrantes, mas nosso gráfico de função exponencial só vai aparecer nos quadrantes 1 e 2. Por quê? Porque o valor de 'y' sempre será um número real positivo maior do que zero, o que significa que nunca passaremos para os quadrantes 3 e 4. E mesmo que nosso gráfico pareça cada vez mais próximo do eixo 'x' (a linha horizontal), ele nunca o tocará - não importa quão alto ou baixo vamos no nosso elevador, nunca encontraremos um valor de 'x' que faça 'ax' igual a zero, já que nossa base 'a' é sempre maior do que zero.

Por fim, quando nossa função exponencial é crescente (ou seja, quando nosso elevador está subindo), você notará que ela cresce muito mais rápido do que funções afins (aquelas do tipo y = mx + b). É como se estivéssemos em um elevador super turbo! Isso é uma característica muito interessante das funções exponenciais.

 Quando colocamos zero no lugar de 'x' na nossa função exponencial f(x) = a

, algo mágico acontece. O resultado é sempre 1! Então f(0) = a

 = 1. Essa é uma regra geral da matemática: qualquer número (exceto zero) elevado a zero é igual a 1. Então, independentemente do valor de 'a' (desde que não seja zero), se 'x' for zero, a função será igual a 1.

 A função exponencial é como uma loja que não aceita devoluções: cada 'x' leva a um único 'y'. Isso é o que chamamos de ser injetiva. Se tivermos dois valores diferentes de 'x', eles sempre levarão a dois valores diferentes de 'y'. Ou seja, se 'x1' é diferente de 'x2', então f(x1) será diferente de f(x2). E para cada valor de 'y', existe apenas um 'x' que pode levá-lo a esse valor. Não há espaço para trocas!

 Lembra do nosso elevador? Aqui ele retorna! A direção do nosso elevador, ou seja, se a função é crescente ou decrescente, depende do valor de 'a', a base da função. Se 'a' é maior que 1, o gráfico vai subir (a > 1). Mas se 'a' está entre 0 e 1, o gráfico desce (0 < a < 1).

 Por último, mas não menos importante, nosso gráfico de função exponencial nunca vai tocar o chão do elevador, ou seja, o eixo 'x'. Ele pode chegar muito perto, mas nunca tocar. Dizemos que ele "tende a 0", mas não importa quão alto ou baixo vamos no nosso elevador, nunca encontraremos um valor de 'x' que faça 'ax' igual a zero.

Imagina que você esteja olhando no espelho. Você vê seu reflexo, certo? Bom, as funções exponenciais e logarítmicas têm essa relação "espelho" entre si. Elas são o reflexo uma da outra! Isso porque a função logarítmica é a função inversa da função exponencial.

Sei que isso pode parecer um pouco complicado, mas vamos simplificar!

Suponha que tenhamos um gráfico da função exponencial. Se pegássemos esse gráfico e colocássemos na frente de um espelho inclinado ao longo da linha chamada 'bissetriz do eixo x' (essa linha é como a linha do meio que divide o gráfico em duas partes iguais), o reflexo que você veria seria o gráfico da função logarítmica!

Isso significa que se você souber como é o gráfico de uma função exponencial, você pode "visualizar" o gráfico da função logarítmica correspondente, e vice-versa. E isso pode ser super útil quando você está tentando entender ou resolver problemas que envolvem esses dois tipos de funções. Lembre-se, elas são duas faces da mesma moeda!