Planejativo

Probabilidade: Visão geral

Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

Fatorial

Permutação simples e Permutação circular

Estatística: Visão geral, Organização e Representação de dados

Estatística: Médias, Medidas de tendência central e de dispersão

Interpretação de gráficos

Probabilidade da união de eventos

Arranjo

Combinação

Probabilidade condicional

Probabilidade de eventos simultâneos

Alguns pontos-chave dessa matéria para o ENEM que devem ser levados em conta ao estudarmos são:

Um mapa mental com alguns conceitos iniciais sobre Probabilidade! Fonte: @escoladenumeros.

Hoje, vamos começar a estudar um novo tópico fascinante: a Probabilidade. Mas antes de nos aprofundarmos, vamos entender o que realmente é a probabilidade.

Imagine que você tenha uma moeda na mão. Se você jogá-la para o alto, quais são os possíveis resultados? Isso mesmo: cara ou coroa. Agora, qual é a chance de obtermos "cara" como resultado? Exatamente, 1 em 2, ou podemos dizer, 50%. Isso é o que chamamos de probabilidade!

De forma geral, a probabilidade é uma maneira de medir ou quantificar a chance de que um determinado evento ocorra, dadas todas as possíveis ocorrências. Ela é uma parte fundamental da matemática e é usada em uma ampla gama de áreas, desde jogos e esportes até física e, claro, estatística.

Agora, como podemos calcular a probabilidade? Em sua forma mais simples, a probabilidade de um evento é calculada dividindo-se o número de maneiras favoráveis em que o evento pode ocorrer pelo número total de possíveis resultados.

Por exemplo, vamos voltar ao exemplo da moeda. Se jogarmos uma moeda, existem dois possíveis resultados: cara ou coroa. Então, se quisermos calcular a probabilidade de obtermos cara, teremos:

Número de maneiras favoráveis (cara) = 1 Número total de resultados possíveis (cara ou coroa) = 2

Portanto, a probabilidade de obtermos cara é 1/2 ou 0.5 ou 50%, todas as três formas são aceitáveis e representam a mesma coisa.

E isso é apenas o começo! Vamos explorar ainda mais a probabilidade nas próximas aulas, incluindo diferentes tipos de eventos, como eventos independentes e dependentes, e como eles afetam as probabilidades. E ainda vamos aprender como a probabilidade é usada na prática, em campos como a ciência de dados, a previsão do tempo e a medicina.

Um ensaio aleatório é uma tentativa ou experimento que, mesmo quando repetido várias vezes sob as mesmas condições, ainda resulta em um resultado imprevisível. Vivenciamos ensaios aleatórios em nosso dia a dia. Por exemplo, quando lançamos um dado convencional, mesmo sendo capazes de calcular a probabilidade de cada resultado, não podemos prever exatamente o resultado do lançamento. Suponhamos que lançamos o dado uma vez e o resultado é 1. Se lançarmos o dado novamente, mantendo todas as condições iguais, o resultado permanece incerto - pode ser 1 novamente, ou pode não ser.

Há muitos outros exemplos de ensaios aleatórios em diferentes áreas do conhecimento, como na biologia, mais especificamente na genética.

Conjunto de Resultados ou Espaço Amostral

O espaço amostral representa todas as possibilidades de resultados de um dado evento. Fonte: 

O conjunto de resultados, ou espaço amostral, também conhecido como conjunto universo, representa todos os resultados possíveis de um evento aleatório. Ele pode ser representado pelo símbolo grego Ω (lê-se: ômega). Em qualquer ensaio aleatório, é crucial conhecer o conjunto de resultados para calcular a probabilidade do evento. Por exemplo, em um lançamento de dado convencional, o conjunto de resultados será Ω: {1,2,3,4,5,6}. Outro exemplo seria selecionar uma vogal do alfabeto aleatoriamente, onde o conjunto de resultados seria Ω:{a, e, i, o, u}.

Ao jogarmos cara ou coroa em uma moeda duas vezes, o ponto amostral é um dos resultados finais, isto é, um dos elementos do espaço amostral. Fonte: 

Um resultado amostral é um elemento que pertence ao conjunto de resultados - ou seja, um dos possíveis resultados de um ensaio aleatório. Por exemplo, ao lançar uma moeda, tanto 'cara' quanto 'coroa' são resultados amostrais, dependendo de qual lado cai para cima após o lançamento. Portanto, um resultado amostral de um ensaio aleatório é simplesmente um de seus possíveis resultados.

 é um subconjunto específico dentro do espaço amostral. Usamos a notação de conjuntos para representar um evento, geralmente com letras maiúsculas. Com frequência, o evento representa o conjunto de resultados que nos interessam, ou seja, um subconjunto do espaço amostral que contém os elementos cujas probabilidades estamos tentando calcular.

Então, vamos pensar em eventos como "possíveis resultados que nos interessam" em um experimento aleatório. O evento é qualquer grupo de resultados que estamos observando dentro do espaço amostral - que é, lembrem-se, o conjunto de todos os resultados possíveis.

Por exemplo, imagine que estamos jogando um dado de seis faces, que é um cubo com números de 1 a 6. Aqui, o espaço amostral, ou seja, todos os possíveis resultados que podem acontecer, é: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Agora, digamos que estamos interessados na situação em que o resultado do lançamento é um número par. Então, o "evento" neste caso, que vamos chamar de "Evento A", são os resultados {2, 4, 6}. Este é o subconjunto do espaço amostral que nos interessa.

É assim que definimos um evento na teoria da probabilidade. É basicamente uma situação ou um conjunto de resultados que estamos observando ou que nos interessam em um experimento aleatório.

Lembrando que, normalmente, representamos os eventos com letras maiúsculas para facilitar a nossa vida. Isso nos ajuda a descrever e trabalhar com eles de forma mais clara e organizada.

O Evento Certo é aquele que acontecerá com certeza, não importa quantas vezes o experimento seja repetido. Ele contém todos os resultados possíveis do espaço amostral. Por exemplo, se lançarmos um dado comum de seis faces, o evento de "obter um número menor ou igual a 6" é um Evento Certo, já que todos os possíveis resultados (1, 2, 3, 4, 5, 6) satisfazem essa condição. Em outras palavras, a probabilidade de um Evento Certo ocorrer é sempre 1, ou 100%.

Por outro lado, o Evento Impossível é exatamente o oposto. Ele não contém nenhum dos resultados possíveis do espaço amostral. Por exemplo, no lançamento de um dado comum de seis faces, o evento "obter um número maior que 6" é um Evento Impossível, já que nenhum dos possíveis resultados (1, 2, 3, 4, 5, 6) pode satisfazer essa condição. Ou seja, não importa quantas vezes você jogue o dado, é impossível que o resultado seja maior que 6. A probabilidade de um Evento Impossível ocorrer é sempre 0, ou 0%.

A formula de probabilidade para a maioria dos casos. Fonte: 

A fórmula básica para calcular a probabilidade de um evento é bastante simples:

Nessa fórmula, P(E) representa a probabilidade do evento E ocorrer. O "número de resultados favoráveis" são os resultados que estamos considerando como parte do evento E, e o "número total de resultados possíveis" é simplesmente o tamanho do nosso espaço amostral.

Agora, vamos aplicar isso a um exemplo concreto. Digamos que temos um saco com 10 bolas, das quais 7 são vermelhas e 3 são azuis. Se pegarmos uma bola ao acaso, qual é a probabilidade de ser uma bola vermelha?

Para responder a isso, precisamos primeiro identificar o número total de resultados possíveis. Nesse caso, são 10 bolas. O número de resultados favoráveis (pegar uma bola vermelha) é 7. Portanto, a probabilidade de pegar uma bola vermelha é:

Agora, sobre a combinatória: entender combinatória é fundamental para calcular probabilidades em situações mais complexas, especialmente quando os eventos não são simples e envolvem mais de um resultado simultâneo ou sequencial.

A combinatória nos ajuda a calcular o número total de resultados possíveis e o número de resultados favoráveis em situações onde temos muitas opções ou etapas. Ela envolve conceitos como permutações (quantas maneiras diferentes podemos organizar um grupo de itens) e combinações (quantos grupos diferentes podemos fazer com um conjunto de itens).

Por exemplo, se quisermos calcular a probabilidade de obter uma determinada mão em um jogo de cartas, precisaríamos usar a combinatória para determinar quantas mãos diferentes são possíveis e quantas delas correspondem à mão que estamos procurando.

Portanto, ter um entendimento sólido da combinatória é uma ferramenta muito útil ao trabalhar com probabilidade, especialmente em problemas mais complexos.