Planejativo

Probabilidade da união de eventos

Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

Fatorial

Permutação simples e Permutação circular

Estatística: Visão geral, Organização e Representação de dados

Estatística: Médias, Medidas de tendência central e de dispersão

Interpretação de gráficos

Probabilidade: Visão geral

Arranjo

Combinação

Probabilidade condicional

Probabilidade de eventos simultâneos

Alguns pontos-chave dessa matéria para o ENEM que devem ser levados em conta ao estudarmos são:

1. Probabilidade da União de Dois Eventos

A Fórmula Central da Probabilidade da União de Dois Eventos envolve o conceito de Conjuntos. Fonte: 

A probabilidade é uma área da matemática que estuda a chance de ocorrência de eventos em situações de incerteza. Um dos conceitos fundamentais em probabilidade é a união de eventos, que permite analisar a probabilidade de que pelo menos um de dois (ou mais) eventos ocorra. Compreender a probabilidade da união de eventos é essencial para entender o comportamento conjunto de diferentes fenômenos e pode ser aplicado em diversos campos, como estatística, economia, ciências sociais e ciências naturais.

Considere dois eventos, A e B, que representam diferentes resultados possíveis em uma situação específica. A probabilidade da união desses eventos, denotada por P(A ∪ B), é a probabilidade de que pelo menos um dos eventos ocorra, ou seja, A aconteça, B aconteça, ou ambos aconteçam simultaneamente.

Para calcular a probabilidade da união de dois eventos, utilizamos a fórmula:

onde P(A) e P(B) representam as probabilidades dos eventos A e B ocorrerem, respectivamente, e P(A ∩ B) é a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem simultaneamente (ou seja, a interseção de A e B).

A importância do cálculo da probabilidade da união de eventos reside na sua capacidade de fornecer informações sobre a ocorrência de múltiplos eventos em um contexto específico. Por exemplo, em uma empresa, pode-se querer avaliar a probabilidade de dois produtos serem vendidos em uma determinada semana, ou em um contexto médico, pode-se analisar a probabilidade de um paciente ser diagnosticado com pelo menos uma de duas doenças diferentes. Entender a probabilidade da união de eventos permite tomar decisões mais informadas e melhorar a compreensão de diversos fenômenos.

Vamos considerar o exemplo de uma escola onde os alunos estão estudando duas matérias: matemática e história. Temos os seguintes dados:

Queremos calcular a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente passar em matemática ou história.

Vamos representar o evento "passar em matemática" como A e o evento "passar em história" como B. Com base nas informações fornecidas, temos:

P(A) = 0,40 (probabilidade de passar em matemática) P(B) = 0,50 (probabilidade de passar em história) P(A ∩ B) = 0,20 (probabilidade de passar em matemática e história)

Usando a fórmula da probabilidade da união de eventos, temos:

P(A ∪ B) = 0,40 + 0,50 - 0,20 P(A ∪ B) = 0,70

Portanto, a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente passar em matemática ou história é de 70%.

Existem alguns casos específicos que podem ocorrer na probabilidade da união de dois eventos, A e B. Vamos considerar os seguintes:

Esses são alguns casos específicos da probabilidade da união de dois eventos, cada um com suas próprias características e simplificações na fórmula. Dependendo do contexto e das relações entre os eventos, diferentes casos podem ser aplicados para calcular a probabilidade da união de eventos.

O princípio da inclusão-exclusão nos ajuda a calcular a probabilidade de três ou mais eventos. Fonte: 

O princípio da inclusão-exclusão é uma técnica matemática usada para calcular a probabilidade da união de múltiplos eventos, especialmente quando há sobreposição entre eles. O princípio ajuda a evitar a contagem dupla das interseções entre eventos e é aplicado alternando entre a inclusão e a exclusão das probabilidades das interseções.

Em termos simples, o princípio consiste em somar as probabilidades dos eventos individuais e, em seguida, subtrair as probabilidades das interseções entre todos os pares de eventos. Se houver três ou mais eventos, continua-se a adicionar as interseções entre os grupos de três eventos, subtrair as interseções entre os grupos de quatro eventos e assim por diante, até que todas as combinações possíveis sejam consideradas.

Quando estamos lidando com a união de três ou mais eventos, o princípio da inclusão-exclusão é usado para calcular a probabilidade da união desses eventos. Vamos considerar três eventos A, B e C. A fórmula para a probabilidade da união de três eventos é:

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

Aqui, P(A), P(B) e P(C) são as probabilidades dos eventos individuais, P(A ∩ B), P(A ∩ C) e P(B ∩ C) são as probabilidades das interseções dos pares de eventos e P(A ∩ B ∩ C) é a probabilidade da interseção dos três eventos.

Essa fórmula considera a probabilidade de cada evento individual, subtrai as probabilidades das interseções dos pares de eventos para evitar a contagem dupla e, em seguida, adiciona a probabilidade da interseção dos três eventos, caso haja alguma sobreposição entre os três.

A lógica por trás dessa fórmula pode ser estendida para a união de n eventos. No caso de n eventos, a probabilidade da união dos eventos é calculada somando as probabilidades de todos os eventos individuais, subtraindo as probabilidades das interseções dos pares de eventos, somando as probabilidades das interseções de três eventos e assim por diante, alternando entre adicionar e subtrair as probabilidades das interseções até a interseção de todos os eventos.

É importante notar que, ao calcular a probabilidade da união de três ou mais eventos, é essencial considerar as interações entre os eventos para garantir que as probabilidades sejam corretamente contabilizadas sem sobreposição ou contagem dupla.