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Triângulo retângulo: relações métricas

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Alguns pontos-chave dessa matéria para o ENEM que devem ser levados em conta ao estudarmos são:

Hoje, vamos abordar uma figura muito importante na geometria: o triângulo retângulo.

Imaginem um triângulo, que é uma figura geométrica formada por três lados. Agora, em um dos ângulos deste triângulo, temos um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90 graus. Aí está! Este é o nosso triângulo retângulo.

Um triângulo retângulo e seus elementos! Fonte: Educa + Brasil.

Agora, vamos conhecer os elementos que compõem um triângulo retângulo:

Cateto oposto e adjacente em relação aos ângulos. Fonte: 

Quando olhamos para um triângulo retângulo, o que chamamos de "cateto oposto" para um dos ângulos não retos, automaticamente se torna o "cateto adjacente" para o outro ângulo não reto. Isso significa que, dependendo do ângulo que estamos considerando, a denominação dos catetos pode mudar.

Vou dar um exemplo para tornar isso mais claro. Imagine um triângulo retângulo e vamos considerar um dos ângulos agudos, digamos, o ângulo A. O cateto que está do outro lado (não adjacente) ao ângulo A é o que chamamos de "cateto oposto" para A.

Agora, se mudarmos nossa perspectiva e considerarmos o outro ângulo agudo, digamos, o ângulo B, o mesmo cateto que era oposto ao ângulo A agora está ao lado (adjacente) ao ângulo B. Portanto, para B, esse cateto é o "cateto adjacente".

Então, é importante lembrar que esses termos, "cateto oposto" e "cateto adjacente", são sempre relativos ao ângulo que estamos considerando.

Num triângulo retângulo, temos três ângulos: um é reto, ou seja, possui exatamente 90°, e os outros dois são agudos, menores que 90°. Imaginemos esses ângulos como três amigos chamados "A", "B" e "C".

Exemplo de um triângulo retângulo 30-60-90, onde os ângulos são os números, respectivamente, 30º, 60º e 90º. Fonte: 

Nosso amigo "C" é o mais alto e fica de pé, formando um ângulo de 90°, enquanto "A" e "B" são menores e formam ângulos agudos.

Agora, vamos falar um pouco sobre como calcular a área de um triângulo retângulo.

A área de um triângulo retângulo sempre envolve sua base a altura. Fonte: 

Pensem na base e na altura do triângulo como a largura e a altura de uma sala. Se multiplicarmos a largura pela altura e dividirmos por 2, teremos a área da sala (ou do nosso triângulo). Matematicamente, isso fica assim:

Importante lembrar que a unidade de medida da área pode ser em centímetros quadrados (cm²), metros quadrados (m²) ou quilômetros quadrados (km²), dependendo das medidas que você tem disponíveis.

E sobre o perímetro? Bem, imagine que você está dando uma volta ao redor do triângulo, caminhando por todos os seus lados. A distância que você percorrerá é o que chamamos de perímetro! É como se você estivesse contando todos os passos ao redor da figura. A soma de todos esses passos, ou em outras palavras, a soma dos lados do triângulo, nos dá o perímetro.

A fórmula do perímetro para um triângulo retângulo, que é a soma dos três lados, fica assim:

E essas medidas de perímetro podem ser expressas em centímetros (cm), metros (m) ou quilômetros (km), dependendo da escala que estamos usando.

Essas são as principais características que você precisa saber sobre um triângulo retângulo!

2. Relações Métricas no Triângulo Retângulo

As relações métricas no triângulo retângulo, exemplificadas em um mapa mental! Fonte: 

Imagine um triângulo retângulo, que como sabemos, possui um ângulo de 90 graus. No triângulo que estamos visualizando, o lado oposto a esse ângulo reto é chamado de hipotenusa, e vamos chamá-lo de "a".

Relações métricas do triângulo retângulo (Foto: Wikipédia)

Os outros dois lados são chamados de catetos, e vamos chamá-los de "b" e "c". Até aqui tudo bem, certo? Agora, imagine que traçamos uma linha vertical do ângulo reto até a hipotenusa, formando uma altura. Vamos nomear essa altura como "h".

Quando traçamos essa altura, a hipotenusa fica dividida em dois segmentos que chamaremos de "m" e "n", que são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Com essas definições em mente, vamos explorar algumas relações fascinantes que existem nesse triângulo!

Essas relações são incríveis e extremamente úteis. Conhecê-las pode nos ajudar a resolver uma série de problemas relacionados a triângulos retângulos.

Semelhança, em termos simples, refere-se a coisas que têm a mesma forma. Quando dizemos que dois triângulos são semelhantes, isso significa que eles têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho. Para que dois triângulos sejam semelhantes, eles devem satisfazer duas condições:

Agora, vamos aprofundar a conexão entre semelhança e as relações métricas.

Vamos lembrar o nosso triângulo retângulo ABC, onde 'a' é a hipotenusa, 'b' e 'c' são os catetos, 'h' é a altura relativa à hipotenusa e 'm' e 'n' são as projeções dos catetos 'b' e 'c' na hipotenusa. Se traçamos uma altura 'h' da hipotenusa, acabamos criando dois triângulos menores dentro do triângulo retângulo ABC: HBA e HAC.

O interessante aqui é que todos esses três triângulos - ABC, HBA e HAC - são semelhantes entre si, o que nos permite estabelecer proporções entre seus lados.

Por exemplo, devido à semelhança entre os triângulos ABC e HBA, podemos dizer que a razão entre o cateto 'b' e a projeção 'm' é igual à razão entre a hipotenusa 'a' e o cateto 'b'. Essa é uma relação métrica muito importante que descobrimos graças à semelhança de triângulos.

De maneira semelhante, podemos encontrar outras relações métricas importantes ao considerar a semelhança entre os triângulos ABC e HAC, bem como entre os triângulos HBA e HAC.

Além disso, lembramos que as projeções 'm' e 'n' na hipotenusa 'a' somam exatamente a hipotenusa 'a'. Em outras palavras, se você somar 'm' e 'n', o resultado será igual ao comprimento da hipotenusa 'a'.

Então, como você pode ver, a semelhança de triângulos é uma ferramenta muito poderosa que nos ajuda a descobrir várias relações métricas em um triângulo retângulo.

Muito bem, o triângulo 30-60-90 é um tipo especial de triângulo retângulo que, como o nome sugere, tem ângulos de 30 graus, 60 graus e 90 graus. E aqui está o que torna este triângulo realmente especial: as proporções dos lados.

Se tivermos um triângulo 30-60-90, e se chamarmos o cateto oposto ao ângulo de 30 graus de "x", então a hipotenusa será "2x". Esta é uma relação bastante simples e direta de se lembrar. Significa que a hipotenusa é sempre o dobro da medida do cateto oposto ao ângulo de 30 graus.

Agora, sobre o cateto oposto ao ângulo de 60 graus, a relação fica um pouco diferente. Neste caso, o comprimento deste cateto será "x√3". Isso significa que o cateto oposto ao ângulo de 60 graus é sempre a medida do cateto oposto ao ângulo de 30 graus (ou seja, "x") multiplicado pela raiz quadrada de 3.

Estas relações permitem que você, conhecendo apenas o valor de "x", seja capaz de determinar os comprimentos dos outros dois lados do triângulo. Da mesma forma, se você conhecer a medida da hipotenusa, poderá encontrar "x" dividindo a medida da hipotenusa por 2.