Planejativo

Radiciação e Racionalização de denominadores

As quatro operações e Expressões numéricas

Frações e Dízimas periódicas

Raciocínio lógico

Potenciação

Produtos notáveis e Fatoração

Sistemas de numeração e Sistema métrico

Equações e Sistemas do primeiro grau

Equações do segundo grau e Equações biquadradas

Critérios de divisibilidade e Números primos

MMC e MDC

Razão e proporção

Regras de 3 e Escalas

Porcentagem

Lucro e Juros simples

Notação científica

Juros compostos

Alguns pontos-chave dessa matéria para o ENEM que devem ser levados em conta ao estudarmos são:

Radiciação é a operação matemática utilizada para extrair raízes de um número. A raiz quadrada é um exemplo comum de radiciação, sendo utilizada em diversos cálculos matemáticos e científicos. A compreensão dessa operação é fundamental para a resolução de problemas em diferentes áreas do conhecimento. Fonte: 

Radiciação é uma operação matemática que tem como objetivo encontrar a raiz de um número. Essa operação é muito importante na matemática, física e outras áreas do conhecimento, pois permite calcular valores como áreas, volumes, raízes de equações, entre outros.

A raiz quadrada é um exemplo comum de radiciação, sendo representada pelo símbolo √. Quando temos um número 

), estamos buscando qual é o número que, elevado ao quadrado, resulta em 

. Por exemplo, √25 é igual a 5, pois 5² = 25.

A radiciação é uma operação muito utilizada em problemas envolvendo geometria e trigonometria, como o cálculo de áreas e volumes de sólidos. Além disso, é amplamente utilizada em cálculos científicos, na física, por exemplo, em cálculos envolvendo campos elétricos e magnéticos.

Para realizar operações de radiciação, é necessário ter conhecimento prévio em álgebra básica e propriedades de raízes, como a propriedade da multiplicação de raízes, que diz que a raiz quadrada do produto de dois números é igual ao produto das raízes quadradas de cada um deles. Portanto, é importante dominar bem esse assunto para resolver problemas que envolvem radiciação de forma eficiente.

 (√) é um símbolo matemático que representa uma operação inversa à potenciação. Ele é utilizado para extrair raízes de um número, indicando o índice e o radicando

 é o valor que, elevado a um índice, resulta em um número. No exemplo acima, a raiz é 3. Se elevarmos 3 com o índice 3, obtemos 3³ = 27.

 é o número que determina a ordem da raiz, e o 

 é o número que será extraído a partir da raiz.

Para ler uma raiz, utilizamos a palavra "raiz" seguida do índice, e dentro do símbolo de radical colocamos o radicando.

Quando o índice do radical não é indicado, ele é considerado igual a 2, e essa raiz é chamada de raiz quadrada. Já a raiz de índice 3 é conhecida como raiz cúbica.

O cálculo de uma raiz é bem simples, como visto abaixo:

Para facilitar o cálculo, podemos observar algumas propriedades que as raízes obedecem.

Um quadro resumo com quase todas as propriedades da radiciação. Fonte: 

A raiz de ordem n de um número elevado à potência n é o próprio número. Ou seja, essa propriedade lida com raízes onde o índice do radical é igual ao expoente do radicando. Veja:

É possível multiplicar ou dividir o índice de uma raiz por um número real, desde que o expoente do radicando seja multiplicado ou dividido pelo mesmo número. Essa propriedade é válida para qualquer número real, desde que o radicando seja positivo.

Esta propriedade aborda raízes nas quais o radicando é resultado da multiplicação de dois números. Pode-se compreender assim: a raiz de ordem n do produto é igual ao produto das raízes de ordem 

Esta propriedade é semelhante à anterior, porém aplicável à divisão entre dois números arbitrários. Aqui, a raiz de ordem n do quociente é igual ao quociente das raízes de ordem n. Veja:

Uma raiz elevada a uma potência pode ser reorganizada, movendo o expoente para dentro do radicando. De forma matemática, essa propriedade é apresentada assim:

Esta propriedade está relacionada às raízes de outras raízes. Levando em conta a raiz enésima da raiz enésima de um número, pode-se alcançar o resultado usando o seguinte:

Cada raiz pode ser expressa como uma potência com expoente fracionário. Veja:

Ao lidar com um valor cuja raiz não é exata, podemos simplificar esse radical. Para tal, precisamos de um método para decompor o número em seus fatores primos.

Por exemplo, podemos decompor a raiz de 360 em seus fatores primos:

Tirando a raiz e aplicando algumas propriedades, temos:

Observe que o 2² e o 3² "saíram da raiz".  A razão pela qual um número fatorado pode "sair da raiz" está relacionada à propriedade de simplificação de radicais. Quando um número é decomposto em fatores primos e alguns desses fatores possuem expoentes múltiplos do índice do radical, eles podem ser extraídos do radical.

Essa propriedade permite que, ao encontrar fatores primos com expoentes múltiplos do índice da raiz, possamos simplificar o radical, dividindo o expoente do fator primo pelo índice do radical. Ao fazer isso, obtemos uma forma simplificada do número, facilitando os cálculos e tornando a expressão mais compreensível.

Podemos utilizar a seguinte propriedade dos radicais quando os índices dos radicais forem múltiplos do expoente do radicando, ou vice-versa:

Essa propriedade permite que o índice e o expoente da raiz sejam multiplicados ou divididos por qualquer número sem que o valor da raiz seja alterado.

Se for necessário simplificar uma raiz de um número expresso na forma de fração, a propriedade pode ser utilizada.

Após usar a propriedade, simplifique a raiz para o numerador e para o denominador separadamente.

A última forma de simplificação é a racionalização dos denominadores, que veremos a seguir.

Racionalização de denominadores é um método utilizado para transformar frações cujos denominadores são irracionais em frações cujos denominadores são racionais.

Essa técnica é aplicada para facilitar o cálculo, uma vez que trabalhar com números irracionais pode ser complicado e resultar em uma menor precisão do resultado.

Para racionalizar o denominador, multiplicamos o numerador e o denominador pelo mesmo número, com o objetivo de eliminar a raiz presente no denominador. Esse processo converte a fração original em uma fração equivalente com um denominador racional.

Podemos simplificar uma fração que possui uma raiz quadrada no denominador através da técnica de racionalização. Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador da fração pela mesma raiz quadrada presente no denominador. Essa multiplicação permite a eliminação da raiz do denominador, resultando em uma fração equivalente com um denominador racional. Essa técnica é conhecida como racionalização de denominadores. Por exemplo,

Podemos racionalizá-la multiplicando numerador e denominador por √2, o que resulta em

Dessa forma, a fração foi racionalizada e temos um denominador racional.

O fator que utilizamos para racionalizar a fração com raiz quadrada no denominador é chamado de fator racionalizante, e, no caso apresentado, esse fator é √2. Utilizando a propriedade de radiciação, podemos eliminar a raiz quadrada multiplicando-a por ela mesma, resultando em 2 no denominador da fração.

Como outro exemplo, observe a seguinte fração:

Podemos racionaliza-la multiplicando toda a fração por √10, olhe:

Para as frações cujos denominadores não são raízes quadradas, isto é, quando o índice não é 2, é preciso seguir uma regra específica para racionalizar o denominador. Essa regra consiste em multiplicar a fração pelo conjugado do denominador, que é obtido trocando o sinal da operação entre o radical e o termo seguinte. Dessa forma, é possível eliminar a raiz do denominador, resultando em uma fração com um denominador racional.

Em outras palavras, quando uma fração tem um denominador com uma soma ou subtração de raízes, podemos racionalizar utilizando o fator racionalizante (conjugado) correspondente:

Em resumo, o fator racionalizante é obtido ao inverter a operação e trocar o sinal de uma soma para uma subtração ou vice-versa. O motivo dessa troca envolve algumas propriedades da fração. Caso queiram saber a razão algébrica para tal, há uma boa explicação 

No caso específico em que o denominador é √3 + 2, o fator racionalizante é √3 – 2

Podemos racionalizar uma fração cujo denominador é uma soma ou subtração que envolve uma raiz cúbica, multiplicando o numerador e o denominador pela expressão adequada. Se a operação envolve uma soma, a expressão adequada é a² – ab + b². Se a operação envolve uma subtração, a expressão adequada é a² + ab + b².