Planejativo

Produtos notáveis e Fatoração

As quatro operações e Expressões numéricas

Frações e Dízimas periódicas

Raciocínio lógico

Potenciação

Radiciação e Racionalização de denominadores

Sistemas de numeração e Sistema métrico

Equações e Sistemas do primeiro grau

Equações do segundo grau e Equações biquadradas

Critérios de divisibilidade e Números primos

MMC e MDC

Razão e proporção

Regras de 3 e Escalas

Porcentagem

Lucro e Juros simples

Notação científica

Juros compostos

Alguns pontos-chave dessa matéria para o ENEM que devem ser levados em conta ao estudarmos são:

 de fatoração numérica em formato de mapa mental. Fonte: 

Fatoração é o processo de decompor uma expressão algébrica, polinomial ou um número em um produto de fatores mais simples. Essa técnica é amplamente utilizada na matemática para simplificar expressões, resolver equações e analisar funções.

A importância da fatoração reside em sua capacidade de facilitar a manipulação e o entendimento de expressões algébricas e polinomiais. Ao decompor uma expressão em fatores mais simples, é possível simplificar cálculos e obter soluções de maneira mais eficiente.

Além disso, a fatoração desempenha um papel crucial na resolução de equações, especialmente equações quadráticas, nas quais a técnica permite encontrar as raízes de um polinômio. A fatoração também é útil no estudo de funções, ajudando a determinar pontos críticos, como máximos e mínimos, e a descrever o comportamento das funções em diferentes domínios.

Em resumo, a fatoração é uma ferramenta essencial na matemática que permite simplificar expressões, resolver equações e analisar funções, facilitando a compreensão e o manuseio de problemas matemáticos.

Monômios são expressões algébricas que consistem em um único termo, formado pelo produto de uma constante (chamada coeficiente) e variáveis elevadas a potências inteiras não negativas. Por exemplo, 3x², -5xy e 7z são monômios.

Polinômios são expressões algébricas que consistem na soma (ou diferença) de monômios, chamados termos do polinômio. Cada termo é formado por um coeficiente e variáveis elevadas a potências inteiras não negativas. Por exemplo, 4x³ - 2x² + 5x - 1 é um polinômio de grau 3 (pois o maior expoente é 3), com quatro termos (4x³, -2x², 5x e -1).

É importante notar que um monômio também pode ser considerado um polinômio com apenas um termo. Ou seja, todos os monômios são polinômios, mas nem todos os polinômios são monômios.

A fatoração numérica é o processo de decompor um número em seus fatores primos. Para fazer isso, é preciso seguir uma ordem específica.

Fatorar significa decompor um número em uma multiplicação de números primos. Na fatoração, usamos números primos em ordem crescente, baseando-se nas regras de divisibilidade para o termo a ser fatorado. Números primos são aqueles que só podem ser divididos por 1 e por eles mesmos.

Vamos ver um exemplo de decomposição em fatores primos:

Suponha que você queira fatorar o número 36. Primeiro, você deve dividir o número pelo menor número primo possível (2, 3, 5, 7, etc.).

Agora, você tem os fatores primos 2, 2, 3 e 3. A decomposição em fatores primos do número 36 é 2² × 3².

Ao fatorar um número, coloque-o na coluna da esquerda e preencha a coluna da direita com os fatores primos. Quando dividir o número pelo fator primo, insira os resultados na coluna da direita. Realize divisões sucessivas com o objetivo de simplificar ao máximo o número, ou seja, reduzi-lo a 1.

Vamos calcular a raiz quadrada do número 144.

Ao fatorar o número 144, obtemos: 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3. Para encontrar a raiz quadrada, podemos representar o número 144 assim: 2² x 2² x 3². Considerando que o índice da raiz quadrada é 2, podemos simplificar os expoentes de valor 2 com o índice 2 da raiz. As bases dos expoentes simplificados saem da raiz e são multiplicadas entre si. Veja a demonstração abaixo:

Agora, podemos agrupar os fatores primos em pares:

O índice da raiz quadrada é 2, então podemos simplificar os expoentes de valor 2 com o índice 2 da raiz. As bases dos expoentes simplificados saem da raiz e são multiplicadas entre si:

√144 = √[(2²) x (2²) x (3²)] = 2 x 2 x 3

c) Fatoração de expressões algébricas

Quando realizamos a fatoração de um polinômio, nosso objetivo é representá-lo como uma multiplicação.

Vamos analisar um exemplo numérico: qual é o resultado de 1524² - 1523²? Antes de começar a calcular, saiba que, utilizando a fatoração conhecida como "diferença de quadrados", é possível chegar à resposta desse cálculo com apenas uma adição. Observe:

1524² - 1523² = (1524 + 1523) × (1524 - 1523) = (1524 + 1523) × 1 = 3.047

É muito mais simples do que resolver as potências. O propósito da fatoração é facilitar os cálculos. Geralmente, a fatoração de expressões algébricas é muito útil para simplificar cálculos envolvendo polinômios, evitando assim muitos cálculos desnecessários.

O fator comum e o agrupamento são dois métodos de fatoração aplicados em polinômios. Vamos entender cada um deles e mostrar alguns exemplos:

O método do fator comum consiste em identificar e extrair um termo ou expressão que aparece em todos os monômios de um polinômio. Ao extrair esse fator comum, simplificamos a expressão original.

Exemplo: Considere o polinômio 6x² + 9x. O fator comum aqui é 3x, já que ambos os termos são divisíveis por 3x. Ao fatorar o polinômio, obtemos:

O método do agrupamento é aplicado quando é possível agrupar os termos de um polinômio em pares ou grupos, de modo que cada grupo contenha um fator comum. Depois de agrupar os termos e extrair os fatores comuns, podemos prosseguir com a fatoração.

Exemplo: Considere o polinômio 3ax + 3ay + 2bx + 2by. Podemos agrupar os termos da seguinte forma:

3ax + 3ay + 2bx + 2by = (3ax + 3ay) + (2bx + 2by)

Agora, extraímos os fatores comuns de cada grupo:

(3ax + 3ay) + (2bx + 2by) = 3a(x + y) + 2b(x + y)

Neste ponto, notamos que (x + y) é um fator comum em ambos os grupos. Então, podemos fatorar novamente:

Assim, a fatoração do polinômio original é (3a + 2b)(x + y).

Vamos abordar outros dois métodos de fatoração aplicados a polinômios: trinômio quadrado perfeito e trinômio do tipo x² + Sx + P.

Um trinômio quadrado perfeito ocorre quando um polinômio de segundo grau pode ser representado como o quadrado de uma expressão binomial. Isso acontece quando o primeiro e o último termos são quadrados perfeitos, e o termo do meio é igual ao dobro do produto das raízes quadradas desses termos.

Exemplo: Considere o polinômio x² + 6x + 9. Podemos observar que o primeiro termo (x²) e o último termo (9) são quadrados perfeitos. O termo do meio (6x) é igual ao dobro do produto das raízes quadradas de x² (que é x) e 9 (que é 3). Portanto, esse polinômio é um trinômio quadrado perfeito e pode ser fatorado como:

Um trinômio do tipo x² + Sx + P é um polinômio de segundo grau que pode ser fatorado encontrando dois números cuja soma é igual a S e o produto é igual a P. Esses números serão os coeficientes constantes das expressões binomiais que resultam da fatoração.

Exemplo: Considere o polinômio x² + 5x + 6. Precisamos encontrar dois números cuja soma seja 5 e o produto seja 6. Os números 2 e 3 atendem a esses critérios (2 + 3 = 5 e 2 * 3 = 6). Assim, podemos fatorar o polinômio como:

Aqui estão três casos adicionais de fatoração aplicados a polinômios: diferença de dois quadrados, soma de dois cubos e diferença de dois cubos.

A diferença de dois quadrados ocorre quando temos um polinômio que pode ser representado como a diferença entre dois termos, ambos sendo quadrados perfeitos. A fatoração de tal polinômio segue a forma:

Exemplo: Considere o polinômio x² - 9. Podemos representá-lo como a diferença de dois quadrados, x² e 9, e aplicar a fatoração:

A soma de dois cubos ocorre quando um polinômio pode ser representado como a soma de dois termos, ambos sendo cubos perfeitos. A fatoração de tal polinômio segue a forma:

Exemplo: Considere o polinômio x³ + 8. Podemos representá-lo como a soma de dois cubos, x³ e 8, e aplicar a fatoração:

A diferença de dois cubos ocorre quando um polinômio pode ser representado como a diferença entre dois termos, ambos sendo cubos perfeitos. A fatoração de tal polinômio segue a forma:

Exemplo: Considere o polinômio x³ - 27. Podemos representá-lo como a diferença de dois cubos, x³ e 27, e aplicar a fatoração:

Um breve mapa mental com alguns conceitos importantes de Produtos Notáveis. Fonte: 

Produtos notáveis são ferramentas fundamentais no estudo da álgebra e desempenham um papel crucial em diversos cálculos matemáticos, como nas equações do primeiro e do segundo grau. O termo "notável" destaca a relevância e a prevalência desses conceitos na matemática.

Antes de mergulharmos nas propriedades dos produtos notáveis, é essencial familiarizar-se com alguns termos fundamentais:

Compreender esses conceitos básicos é o primeiro passo para dominar os produtos notáveis e aplicá-los eficientemente na solução de problemas matemáticos.

Os produtos notáveis são expressões algébricas simplificadas que facilitam os cálculos na álgebra. Vamos analisar alguns dos produtos notáveis mais comuns:

Conhecer e aplicar corretamente os produtos notáveis é fundamental para simplificar e agilizar os cálculos algébricos, facilitando a resolução de equações e outros problemas matemáticos.