Planejativo

Equações e Sistemas do primeiro grau

As quatro operações e Expressões numéricas

Frações e Dízimas periódicas

Raciocínio lógico

Potenciação

Radiciação e Racionalização de denominadores

Produtos notáveis e Fatoração

Sistemas de numeração e Sistema métrico

Equações do segundo grau e Equações biquadradas

Critérios de divisibilidade e Números primos

MMC e MDC

Razão e proporção

Regras de 3 e Escalas

Porcentagem

Lucro e Juros simples

Notação científica

Juros compostos

Alguns pontos-chave dessa matéria para o ENEM que devem ser levados em conta ao estudarmos são:

Exemplos de equações do 1º grau. Fonte na própria imagem.

Uma equação é uma expressão matemática que indica que duas quantidades são iguais. As equações são representadas por um sinal de igualdade (=) e geralmente incluem variáveis, que são símbolos que representam quantidades desconhecidas.

As equações do primeiro grau são equações que incluem apenas uma variável e um expoente igual a um. Sua forma geral é a seguinte: ax + b = c, em que a, b e c são números reais conhecidos e x é a variável desconhecida. O objetivo é encontrar o valor de x que faz com que a equação seja verdadeira.

As equações do primeiro grau possuem algumas características importantes, como:

É importante estudar as equações do primeiro grau pois elas são fundamentais na matemática e têm diversas aplicações em outras áreas, como física, engenharia, economia e ciências sociais. Além disso, elas são muito frequentes em provas e exames, incluindo o ENEM, e é importante saber como resolvê-las de forma correta para obter um bom desempenho nessas avaliações.

Veja abaixo alguns exemplos do que não é uma equação:

Para uma expressão matemática ser considerada uma equação, é necessário que haja a presença de um sinal de igualdade e pelo menos uma incógnita. No primeiro exemplo apresentado, temos um sinal de igualdade, porém não há nenhuma incógnita na expressão, o que a torna inválida como equação. Já no segundo exemplo, temos uma expressão algébrica, mas não há um sinal de igualdade para relacionar a expressão a um valor específico, impossibilitando a sua classificação como equação.

a) Resolvendo equações do primeiro grau

Resolver uma equação do primeiro grau envolve encontrar o valor da variável que faz a equação ser verdadeira. Uma equação do primeiro grau tem a forma geral:

Onde "a" e "b" são constantes e "x" é a variável. Siga os passos abaixo para resolver uma equação do primeiro grau:

Passo 1: Identifique os coeficientes e o termo independente da equação. Na equação ax + b = 0, "a" é o coeficiente de x e "b" é o termo independente.

Passo 2: Isolar a variável. Para isolar a variável x, você precisa se livrar do coeficiente "a" e do termo independente "b". Para fazer isso, subtraia "b" de ambos os lados da equação e divida o resultado por "a":

Passo 3: Substitua "a" e "b" pelos valores da equação original e resolva para "x". Agora que você tem uma fórmula para x, substitua os valores de "a" e "b" da equação original e calcule o valor de "x".

Exemplo: Vamos resolver a equação 3x + 4 = 0.

Passo 1: Identifique os coeficientes e o termo independente. Neste caso, a = 3 e b = 4.

Passo 2: Isolar a variável. Usando a fórmula x = -b/a, temos:

Passo 3: Encontrar o valor de "x". Neste exemplo, o valor de x é -4/3 ou aproximadamente -1,33.

Portanto, a solução da equação 3x + 4 = 0 é x = -4/3.

As equações do primeiro grau podem ser classificadas em três categorias: equações possíveis e determinadas, equações impossíveis e equações identidades.

Lembre-se de que esses exemplos são específicos para equações do primeiro grau. Equações de graus mais altos podem ter características diferentes.

Vamos considerar o seguinte problema, que envolve uma equação do 1º grau e requer interpretação e resolução:

João e Maria estão economizando dinheiro para comprar um videogame que custa R$ 450,00. João economizou R$ 120,00 e continua poupando R$ 10,00 por semana. Maria economizou R$ 80,00 e continua poupando R$ 15,00 por semana. Depois de quantas semanas eles terão dinheiro suficiente para comprar o videogame juntos?

Vamos chamar de x o número de semanas que João e Maria precisarão para economizar juntos o valor necessário para comprar o videogame. A quantidade economizada por João após x semanas será 120 + 10x e a quantidade economizada por Maria após x semanas será 80 + 15x.

Para saber quando eles terão dinheiro suficiente, precisamos somar a quantidade economizada por ambos e verificar quando essa soma será igual ou maior que o preço do videogame (R$ 450,00). Assim, temos a equação:

10x + 15x ≥ 450 - 120 - 80 25x ≥ 250 x ≥ 10

Portanto, após 10 semanas, João e Maria terão dinheiro suficiente para comprar o videogame juntos.

Na foto, vemos um sistema de equações do 1º grau. Fonte: 

Um sistema de equações do 1º grau consiste em duas ou mais equações lineares que envolvem a mesma variável ou variáveis. O objetivo ao resolver um sistema de equações do 1º grau é encontrar os valores das variáveis que satisfaçam todas as equações simultaneamente.

Existem diferentes métodos para resolver sistemas de equações do 1º grau, como o método da substituição, o método da eliminação e o método da comparação. A escolha do método mais adequado depende das características do sistema e da preferência do solucionador.

Aqui estão alguns exemplos de sistemas de equações do 1º grau:

Note que cada sistema de equações possui o mesmo número de equações e variáveis. No exemplo 1, há duas equações e duas variáveis (x e y). No exemplo 3, há três equações e três variáveis (x, y e z). A solução de um sistema de equações do 1º grau representa o ponto ou pontos onde as retas (ou planos, no caso de três variáveis) se interceptam.

O método da adição, também conhecido como método da eliminação, é uma técnica utilizada para resolver sistemas de equações do 1º grau. O objetivo desse método é eliminar uma das variáveis, somando ou subtraindo as equações do sistema, de modo a obter uma equação com apenas uma variável. Depois de encontrar o valor dessa variável, ele pode ser substituído em uma das equações originais para encontrar o valor da outra variável.

Vamos ilustrar o método da adição com um exemplo:

O método da adição é útil quando uma variável pode ser facilmente eliminada, seja porque os coeficientes já são opostos ou porque podem ser facilmente ajustados multiplicando as equações.

O método da substituição é uma técnica utilizada para resolver sistemas de equações do 1º grau. Esse método consiste em isolar uma das variáveis em uma das equações e, em seguida, substituir essa expressão na outra equação. Isso resulta em uma equação com apenas uma variável, que pode ser resolvida facilmente. Após encontrar o valor de uma das variáveis, substitua-o de volta na expressão isolada para encontrar o valor da outra variável.

Vamos ilustrar o método da substituição com um exemplo:

O método da substituição é útil quando uma das variáveis pode ser facilmente isolada e substituída na outra equação, simplificando a resolução do sistema.

Neste exemplo, a equação do 1º grau foi utilizada para representar e resolver um problema envolvendo a relação entre as idades de duas pessoas. Essa é uma aplicação comum das equações do 1º grau na resolução de problemas do cotidiano.