Planejativo

Equações do segundo grau e Equações biquadradas

As quatro operações e Expressões numéricas

Frações e Dízimas periódicas

Raciocínio lógico

Potenciação

Radiciação e Racionalização de denominadores

Produtos notáveis e Fatoração

Sistemas de numeração e Sistema métrico

Equações e Sistemas do primeiro grau

Critérios de divisibilidade e Números primos

MMC e MDC

Razão e proporção

Regras de 3 e Escalas

Porcentagem

Lucro e Juros simples

Notação científica

Juros compostos

Alguns pontos-chave dessa matéria para o ENEM que devem ser levados em conta ao estudarmos são:

 sobre as equações de 2º Grau. Fonte na própria imagem.

Uma equação do segundo grau é uma equação algébrica cujo maior expoente da variável é 2. Geralmente, é representada na forma:

Onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. A variável x representa a incógnita que deve ser determinada.

As equações do segundo grau podem ser classificadas em completas e incompletas:

a) Sem termo linear: x² - 9 = 0 (b = 0) b) Sem termo constante: 3x² - 7x = 0 (c = 0)

Vamos analisar dois exemplos de equações do segundo grau, sendo um incompleto e outro completo, e mostrar como resolvê-los.

Neste caso, podemos resolver a equação utilizando a fatoração, identificando que a equação representa a diferença de dois quadrados:

Agora, aplicamos a propriedade do produto nulo, que afirma que se um produto é igual a zero, pelo menos um dos fatores deve ser igual a zero. Portanto, temos duas possíveis soluções:

Assim, as soluções são x = -3 e x = 3.

Para resolver essa equação completa, podemos também utilizar a fatoração. Neste caso, identificamos que a equação é um trinômio quadrado perfeito:

Agora, aplicamos novamente a propriedade do produto nulo:

Como a equação é um quadrado perfeito, temos apenas uma solução:

Um belo mapa mental sobre Bhaskara, uma ferramenta extremamente utilizada para solucionar equações do 2º grau. Fonte na própria imagem.

A fórmula de Bhaskara, também conhecida como fórmula quadrática, é um método geral para solucionar equações do segundo grau da forma ax² + bx + c = 0. Essa fórmula é extremamente útil, pois permite encontrar as raízes da equação, independentemente de sua forma (completa ou incompleta), sem a necessidade de fatoração ou outros métodos.

A fórmula de Bhaskara é muito útil para resolver equações do segundo grau, pois permite determinar as raízes de forma direta, sem depender da fatoração ou de métodos mais complexos. Além disso, o discriminante (Δ) nos fornece informações valiosas sobre a quantidade e a natureza das raízes, ajudando a entender melhor o comportamento da equação e suas soluções.

Para resolver uma equação do segundo grau utilizando a fórmula de Bhaskara, siga os passos abaixo:

Passo 1: Identifique os coeficientes a, b e c na equação do segundo grau ax² + bx + c = 0.

Passo 2: Calcule o discriminante Δ (delta) usando a fórmula Δ = b² - 4ac.

Passo 3: Se Δ > 0, a equação possui duas raízes reais e distintas; se Δ = 0, a equação possui duas raízes reais e iguais; se Δ < 0, a equação não possui raízes reais.

Passo 4: Utilize a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação: x = (-b ± √Δ) / 2a.

Vamos aplicar o passo a passo em um exemplo didático:

Exemplo: Resolver a equação do segundo grau 2x² - 8x + 6 = 0.

Passo 1: Identificar os coeficientes a, b e c.

Passo 3: Como Δ = 16 > 0, a equação possui duas raízes reais e distintas.

Passo 4: Utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes.

As raízes da equação são x₁ = 3 e x₂ = 1.

É verdade que, dependendo do valor do discriminante Δ (delta), nem sempre é possível resolver uma equação do segundo grau utilizando números reais. Existem três casos possíveis:

Exemplo: 2x² - 8x + 6 = 0 Δ = (-8)² - 4(2)(6) = 64 - 48 = 16 (Δ > 0)

Exemplo: x² - 6x + 9 = 0 Δ = (-6)² - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0 (Δ = 0)

Exemplo: x² + 2x + 5 = 0 Δ = (2)² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 (Δ < 0)

Não existem raízes reais para essa equação.

As raízes são complexas: x₁ = -1 + 2i e x₂ = -1 - 2i.

Portanto, o valor de Δ determina a natureza das raízes de uma equação do segundo grau, e nem sempre é possível encontrar soluções reais para essas equações.

É importante ressaltar que números imaginários e complexos não são cobrados no ENEM. O exame foca em equações do segundo grau com soluções reais, o que permite aos estudantes aplicar a fórmula de Bhaskara e entender os diferentes casos em que Δ é maior, igual ou menor que zero sem abordar as raízes complexas. Portanto, ao estudar para o ENEM, você pode se concentrar no entendimento das raízes reais e dos métodos para solucionar essas equações.

O truque de soma e produto é bastante utilizado para resolver equações do 2º grau simples de forma rápida. Fonte: 

O truque de soma e produto é uma técnica útil para resolver equações do 2º grau que podem ser fatoradas facilmente. A ideia principal é encontrar dois números que, quando somados, resultam no coeficiente do termo linear (b) e, quando multiplicados, resultam no coeficiente do termo constante (c) da equação quadrática na forma geral ax² + bx + c = 0.

Para aplicar o truque de soma e produto, siga os passos abaixo:

Passo 1: Identifique os coeficientes a, b e c da equação do 2º grau.

Passo 2: Encontre dois números que satisfaçam as seguintes condições:

Passo 3: Escreva a equação do 2º grau na forma fatorada utilizando os números encontrados no Passo 2.

Passo 4: Resolva a equação fatorada para encontrar as soluções x.

Vamos aplicar o truque de soma e produto em um exemplo:

Resolver a equação quadrática x² - 7x + 12 = 0.

Passo 1: Identifique os coeficientes a = 1, b = -7 e c = 12.

Passo 2: Encontre dois números que somam -7 e multiplicam 12. Neste caso, os números são -3 e -4, pois -3 + (-4) = -7 e -3 × -4 = 12.

Passo 3: Escreva a equação na forma fatorada utilizando os números encontrados: x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)

Passo 4: Resolva a equação fatorada: x - 3 = 0 -> x = 3 x - 4 = 0 -> x = 4

As soluções para a equação são x = 3 e x = 4. O truque de soma e produto é uma técnica rápida e eficiente para resolver equações do 2º grau fatoráveis sem a necessidade de recorrer à fórmula de Bhaskara. No entanto, nem todas as equações do 2º grau podem ser resolvidas desta maneira, e a fórmula de Bhaskara ou outras técnicas podem ser necessárias.

Sistemas de equações do 2º grau são conjuntos de equações que envolvem duas ou mais variáveis, com pelo menos uma das equações sendo do segundo grau. Resolver um sistema de equações do 2º grau significa encontrar os valores das variáveis que satisfazem todas as equações simultaneamente. Existem várias abordagens para resolver esses sistemas, como substituição, adição e eliminação.

Vamos analisar um exemplo simples de um sistema com duas equações envolvendo duas variáveis x e y:

Passo 1: Isolar uma das variáveis em uma das equações. Vamos isolar y na equação 2: