Planejativo

Critérios de divisibilidade e Números primos

As quatro operações e Expressões numéricas

Frações e Dízimas periódicas

Raciocínio lógico

Potenciação

Radiciação e Racionalização de denominadores

Produtos notáveis e Fatoração

Sistemas de numeração e Sistema métrico

Equações e Sistemas do primeiro grau

Equações do segundo grau e Equações biquadradas

MMC e MDC

Razão e proporção

Regras de 3 e Escalas

Porcentagem

Lucro e Juros simples

Notação científica

Juros compostos

1. Critérios de divisibilidadePara alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.a) Divisibilidade por 2Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.Exemplos: 1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0. 2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.b) Divisibilidade por 3Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.Exemplo: 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.c) Divisibilidade por 4Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.Exemplo: 1800 é divisível por 4, pois termina em 00. 4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4. 1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4. 3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4. d) Divisibilidade por 5Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.Exemplos: 1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5. 2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0. 3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5. e) Divisibilidade por 6Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.Exemplos: 1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6). 2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12). 3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3). 4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2). f) Divisibilidade por 8Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.Exemplos: 1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000. 2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8. 3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8. 4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8. g) Divisibilidade por 9Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.Exemplo: 2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9. h) Divisibilidade por 10Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.Exemplos: 1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0. 2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0. i) Divisibilidade por 11Estudando o critério de divisibilidade por 11, um processo interessante e que facilita o trabalho na fatoração por números primos. O critério de divisibilidade por 11 necessita de organização e maior compreensão do processo que deve ser realizado para sabermos a divisibilidade de um número por 11. Os múltiplos por 11, rapidamente extrapolam as casas das centenas, portanto podemos nos deparar com números que possuem diversos algarismos, contudo com o processo de verificação da divisibilidade por 11, buscará um meio que utilize uma quantidade menor de algarismos para esta verificação. “Um número é divisível por 11, caso a soma dos algarismos de ordem par subtraídos da soma dos algarismos de ordem ímpar, resultar em um número divisível por 11. Caso o resultado seja igual a 0, pode-se afirmar também que é divisível por 11.” Devemos compreender o que é dito como ordem par e ordem ímpar, pois pode surgir a confusão que o que deve ser feito é “somar os números pares e somar os números ímpares”, mas não é isso que é pedido. Ordem par e ordem ímpar diz respeito a ordem dos algarismos do número, partindo da esquerda para direita. Façamos uma tabela com a ordem dos algarismos do número: 2376. <img src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/621e1120d74aee725f3341c8e2da7baa.jpg" width="488" height="31"> Conforme vimos no critério de divisibilidade, devemos somar os algarismos que correspondem a ordem ímpar, e subtrair da soma dos algarismos de ordem par. Façamos este processo: <img src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/cc7a823beedab71b1a8d7a171b0d5d4e.jpg" width="157" height="67"> Faça a subtração da soma dos algarismos de ordem par pela soma dos algarismos de ordem ímpar. Caso o resultado seja negativo inverta essa subtração para: (Soma dos algarismos de ordem ímpar subtraídos pela soma dos algarismos de ordem par). Nesta situação não nos importa o sinal obtido, queremos apenas verificar se este resultado é de fato divisível por 11. <img src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/cd92ba7aa70f11c6013859f13de21143.jpg" width="129" height="13"> Como foi visto anteriormente, caso o resultado seja zero podemos afirmar que o número que está sendo verificada a divisibilidade por 11 é de fato divisível pelo número 11, ou seja, 2376 é divisível por 11. Façamos outro exemplo. Verifique se o número 12574 é divisível por 11. <img src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/b519c689ff2059426aeac53c4db7b9ce.jpg" width="466" height="30"> <img src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/bed1e1b3d4c5034a937e4f2e18a9c94f.jpg" width="157" height="85"> Como não é possível dividir 1 por 11, temos que o número 12574 não é divisível por 11. j) Divisibilidade por 12Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.Exemplos: 1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20). 2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4). 3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3). k) Divisibilidade por 15Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.Exemplos: 1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5). 2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5). 3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3). l) Divisibilidade por 25Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.Exemplos: 200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.2. Números primosNúmeros primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.Exemplos:1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo. 3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.Observações: 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. 2 é o único número primo que é par.Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos. Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.a) Reconhecimento de um número primoPara saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11, etc, até que tenhamos: - ou uma divisão com resto zero (e neste caso o número não é primo), - ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.Exemplos:1) O número 161:<ul><li>não é par, portanto não é divisível por 2;</li><li>1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;</li><li>não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;</li><li>por 7:  161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo. </li></ul>2) O número 113:<ul><li>não é par, portanto não é divisível por 2;</li><li>1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;</li><li>não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;</li><li>por 7:  113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).</li><li>por 11:  113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.</li></ul>b) Decomposição em fatores primosTodo número natural, maior que 1, pode ser decomposto em um produto de dois ou mais fatores.Decomposição do número 24 em um produto: 24 = 4 x 6 24 = 2 x 2 x 6 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3No produto 2 x 2 x 2 x 3, todos os fatores são primos. Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 em um produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 23 x 3.De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior que 1, a sua decomposição em um produto de fatores primos.Regra prática para a fatoraçãoExiste um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1.A figura mostra a fatoração do número 630.<img src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/a5380ba15f7a2df680415886dae7f48a.jpg" width="179" height="147" alt="Decomposição">Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 630 = 2 x 32 x 5 x 7.c) Determinação dos divisores de um númeroNa prática, determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos. Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:1º) decompomos o número em fatores primos;2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número;<img src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/2aa89c46a4a3501485448b67e257d2d8.jpg" width="110" height="135">3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo;<img src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/24b71c3e198b2467533ccc5822d53f18.jpg" width="112" height="137">4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.<img src="https://static.planejativo.com/uploads/novas/74ff71c79753e602f72f27fdcdda902c.jpg" width="184" height="137">Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. Fontes:<a href="https://www.somatematica.com.br/fundam/divisor.php" target="_blank">Só Matemática -</a>  Disponível em < <a href="https://www.somatematica.com.br/fundam/divisor.php" target="_blank">https://www.somatematica.com.br/fundam/divisor.php</a>  > Acesso em 12 abr. 2022. <a href="https://www.somatematica.com.br/fundam/critdiv.php" target="_blank">Só Matemática -</a>  Disponível em < <a href="https://www.somatematica.com.br/fundam/critdiv.php" target="_blank">https://www.somatematica.com.br/fundam/critdiv.php</a>  > Acesso em 12 abr. 2022. <a href="https://www.somatematica.com.br/fundam/decomp.php" target="_blank">Só Matemática -</a>  Disponível em < <a href="https://www.somatematica.com.br/fundam/decomp.php" target="_blank">https://www.somatematica.com.br/fundam/decomp.php</a>  > Acesso em 12 abr. 2022. <a href="https://www.somatematica.com.br/fundam/primos.php" target="_blank">Só Matemática -</a>  Disponível em < <a href="https://www.somatematica.com.br/fundam/primos.php" target="_blank">https://www.somatematica.com.br/fundam/primos.php</a>  > Acesso em 12 abr. 2022. <a href="https://escolakids.uol.com.br/matematica/divisibilidade-por-11.htm" target="_blank">Escola Kids -</a>  Disponível em < <a href="https://escolakids.uol.com.br/matematica/divisibilidade-por-11.htm" target="_blank">https://escolakids.uol.com.br/matematica/divisibilidade-por-11.htm</a> > Acesso em 12 abr. 2022.