Planejativo

MMC e MDC

As quatro operações e Expressões numéricas

Frações e Dízimas periódicas

Raciocínio lógico

Potenciação

Radiciação e Racionalização de denominadores

Produtos notáveis e Fatoração

Sistemas de numeração e Sistema métrico

Equações e Sistemas do primeiro grau

Equações do segundo grau e Equações biquadradas

Critérios de divisibilidade e Números primos

Razão e proporção

Regras de 3 e Escalas

Porcentagem

Lucro e Juros simples

Notação científica

Juros compostos

Alguns pontos-chave dessa matéria para o ENEM que devem ser levados em conta ao estudarmos são:

O MDC (Máximo Divisor Comum) é o maior número que divide dois ou mais números ao mesmo tempo, ou seja, é o maior fator em comum entre eles. Por exemplo, o MDC entre 12 e 18 é 6, pois 6 é o maior número que divide ambos.

Já o MMC (Mínimo Múltiplo Comum) é o menor número que é múltiplo comum de dois ou mais números, ou seja, é o menor número que pode ser dividido por todos os números sem sobrar resto. Por exemplo, o MMC entre 4 e 6 é 12, pois 12 é o menor número que é múltiplo de ambos.

É importante entender esses conceitos porque eles são bastante utilizados em situações práticas, como na resolução de problemas de matemática financeira, no cálculo de frações e na simplificação de expressões algébricas, por exemplo. Além disso, esses conceitos costumam aparecer em questões do ENEM e de outros vestibulares.

O Máximo Divisor Comum (MDC) é o maior número inteiro que é capaz de dividir simultaneamente dois ou mais números naturais sem deixar resto. Esse número é denominado divisor, pois indica as operações exatas de divisão.

Por exemplo, o número 30 é divisível por 1,2,3,5,6,10,15 e 30, sendo que o primeiro divisor comum a todos é o número 1 e o último divisor de um número é o próprio número. O único número indivisível para todos os valores é o zero.

O cálculo do Máximo Divisor Comum (MDC) será visto de duas maneiras:

a) Decomposição simultânea em fatores primos

para realizar a decomposição simultânea em fatores primos basta as seguintes orientações:

: decompor os números em fatores primos.

: selecionar os fatores em comum que apresentam menores expoentes

Esse método envolve a decomposição primária de cada número, pois a regra afirma que o Máximo Divisor Comum (MDC) é o 

 em comum, sendo cada elemento elevado ao menor expoente.

Dado o MDC (36 e 90), vejamos a resolução:

A decomposição dos números acima mostra que ambos possuem três números em comum, o 2,3 e 3. Então, pela regra, o MDC é a multiplicação desses fatores, porém os de menores expoentes, ou seja:

Os divisores em comum deste exemplo são 2 e 5. Como eles estão elevados a 1, a multiplicação dos fatores acontece de forma direta, logo:

A fatoração é uma alternativa para encontrar o Máximo Divisor Comum (MDC) quando os números não são facilmente decomponíveis em fatores primos. Esse processo consiste em dividir o número sucessivas vezes pelos seus menores fatores primos até que não seja mais possível. Se o número não for divisível pelo menor fator, ele deve ser mantido e continuar sendo dividido pelos próximos fatores primos.

Na fatoração, deve-se dividir os valores pelo menor número possível até o resto ser igual a zero. No caso acima o único divisor dos três números foi o 3. Sendo assim, podemos concluir que o MDC (6,12 e 15) é 3.

Neste exemplo, apenas os números 2 e 5 são divisores comuns de 50 e 20. De acordo com a regra, o Máximo Divisor Comum (MDC) é obtido multiplicando-se esses fatores comuns:

MMC (Mínimo Múltiplo Comum) é um conceito matemático utilizado para encontrar o menor múltiplo comum entre dois ou mais números.

O MMC é muito utilizado na soma e subtração de frações, pois é necessário encontrar um denominador comum para realizar a operação corretamente. Por exemplo, se quisermos somar as frações 1/3 e 2/5, precisamos encontrar o MMC entre 3 e 5, que é 15, para então transformar as frações em equivalentes com denominadores iguais.

Existem diferentes maneiras de se calcular o MMC, mas uma das mais utilizadas é por meio da decomposição em fatores primos dos números em questão. Assim, é possível identificar quais são os fatores comuns e não comuns entre os números e, a partir disso, encontrar o MMC.

a) Encontrando o mínimo múltiplo comum (MMC) por fatoração

Os números naturais maiores que 1 podem ser representados como um produto de dois ou mais fatores primos, o que é conhecido como forma fatorada do número.

Para decompor um número em fatores primos, é preciso realizar sucessivas divisões desse número por outros números que sejam divisores dele ou de seus resultados, até que todos os números sejam iguais a 1. Esse processo permite encontrar os fatores primos do número e escrevê-lo como um produto desses fatores.

A seguir vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60).

Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 

3. Técnicas para resolver questões de MMC e MDC

Identificar as palavras-chave em questões é fundamental para saber se o enunciado pede o cálculo do MMC ou MDC de dois ou mais números. Embora o cálculo em si seja simples, em questões de concursos a aplicação da técnica pode ser desafiadora. Por isso, é importante estar atento aos termos que indicam a necessidade do cálculo do MMC ou MDC, como "dividir", "partilhar", "múltiplos" e "divisores comuns", por exemplo.

As questões que envolvem MMC e MDC podem ser identificadas facilmente por palavras que remetem à divisão, repartição em partes iguais ou encontrar o maior tamanho possível. Outra pista pode ser a presença da palavra "máximo".

Podemos utilizar o MMC em questões que envolvam ideias de periodicidade, repetição, coincidência de eventos ou medidas de tempo.Ou seja, quando uma coisa vai acontecer novamente.