Planejativo

Regras de 3 e Escalas

As quatro operações e Expressões numéricas

Frações e Dízimas periódicas

Raciocínio lógico

Potenciação

Radiciação e Racionalização de denominadores

Produtos notáveis e Fatoração

Sistemas de numeração e Sistema métrico

Equações e Sistemas do primeiro grau

Equações do segundo grau e Equações biquadradas

Critérios de divisibilidade e Números primos

MMC e MDC

Razão e proporção

Porcentagem

Lucro e Juros simples

Notação científica

Juros compostos

Alguns pontos-chave dessa matéria para o ENEM que devem ser levados em conta ao estudarmos são:

Um passo a passo simplificado de como realizar uma regra de três simples. Fonte: 

A regra de três simples é uma técnica usada para descobrir um valor desconhecido, a partir da comparação de duas grandezas proporcionais, onde conhecemos três dos valores. Ou seja, relacionamos dois valores de uma grandeza com dois valores na outra, para encontrar o valor que não conhecemos em uma das grandezas. Para resolvermos exercícios com regras de três, precisamos saber o que são grandezas proporcionais diretamente e inversamente

Grandezas proporcionais são grandezas que variam entre si de forma constante, mantendo uma relação proporcional. Podemos distinguir entre grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais.

A constante de proporcionalidade (k) é um valor que relaciona duas grandezas proporcionais. Essa constante é obtida a partir da divisão entre os valores de uma grandeza pelo valor correspondente na outra grandeza. Em outras palavras, é o resultado da razão entre as grandezas.

Por exemplo, suponha que em um problema de regra de três simples, temos que 3 litros de leite custam R$ 9,00. Para encontrar o valor de 5 litros de leite, é necessário utilizar a constante de proporcionalidade. Nesse caso, a constante de proporcionalidade (k) é igual a R$ 3,00, já que 9 dividido por 3 é igual a 3. Dessa forma, podemos usar a constante para encontrar o valor de 5 litros de leite, multiplicando 5 por k, resultando em R$ 15,00.

Exemplo de uma regra de três simples onde as grandezas são diretamente proporcionais. Fonte: 

Para realizar uma regra de três simples, devemos seguir os seguintes passos:

Ou seja, temos os passos explícitos no resumo abaixo para uma regra de três simples:

Um exemplo de problema de regra de três diretamente proporcional pode ser:

Se 4 maçãs custam R$ 8, quanto custarão 10 maçãs?

Neste caso, temos que a quantidade de maçãs e o preço estão diretamente relacionados, ou seja, quanto mais maçãs, maior o preço. Podemos usar a regra de três para encontrar o preço de 10 maçãs:

4 maçãs = R$ 8 1 maçã = R$ 8 ÷ 4 = R$ 2 (dividimos o valor total por 4, que é a quantidade de maçãs) 10 maçãs = R$ 2 x 10 = R$ 20 (multiplicamos o valor encontrado para 1 maçã por 10, que é a quantidade de maçãs que queremos descobrir o preço)

Portanto, o preço de 10 maçãs é R$ 20.

Vemos outro exemplo abaixo, com a multiplicação em cruzada bem montada:

Um exemplo de regra de três inversamente proporcional é o tempo que um determinado trabalho é realizado, variando de acordo com a quantidade de trabalhadores. Quanto mais trabalhadores, menor é o tempo necessário para realizar o trabalho e vice-versa. Por exemplo:

Seis trabalhadores conseguem realizar uma construção em 10 dias. Quantos dias serão necessários para realizar a mesma construção com apenas três trabalhadores?

Para resolver esse problema, devemos estabelecer a relação inversa entre o número de trabalhadores e o tempo necessário para realizar a construção:

Número de trabalhadores x Tempo necessário

Fazendo a multiplicação cruzada, temos:

Portanto, com apenas três trabalhadores, serão necessários 5 dias para realizar a mesma construção que seis trabalhadores fariam em 10 dias.

Um resumo, em mapa mental, de como realizar uma regra de três composta. Fonte na própria imagem.

A regra de três simples é usada quando há duas grandezas proporcionais, enquanto a regra de três composta é utilizada para três ou mais grandezas proporcionais.

Passo a passo para resolver uma regra de três composta:

Em uma fábrica, 5 funcionários trabalhando 6 horas por dia produzem 200 peças em 4 dias. Quantos funcionários seriam necessários para produzir 300 peças em 3 dias, trabalhando 8 horas por dia?

Primeiro, vamos organizar as informações em uma tabela:

Funcionários (F)Horas por dia (H)Dias (D)Peças (P)564200x83300

Como todas as grandezas são diretamente proporcionais, a regra de três composta pode ser aplicada:

(5 * 6 * 4) / 200 = (x * 8 * 3) / 300 (120) / 200 = (24x) / 300

Agora, cruzamos os termos para encontrar o valor de x:

Dividindo os dois lados por 4800, encontramos o valor de x:

Como não podemos ter meios funcionários, é necessário arredondar o valor de x para cima. Portanto, seriam necessários 8 funcionários para produzir 300 peças em 3 dias, trabalhando 8 horas por dia.

As escalas matemáticas apresentam grande relação com o conteúdo de razão e proporção. Fonte: @canaldamarcela / Instagram.

Escala matemática é uma relação proporcional que representa a correspondência entre as dimensões de um objeto ou espaço real e as dimensões de sua representação, como em mapas, plantas baixas, maquetes e desenhos técnicos. A escala indica quantas vezes as medidas reais foram reduzidas ou ampliadas para criar a representação.

Em geral, a escala é representada por uma razão ou uma fração, na forma 1:x ou 1/x, onde "1" representa a medida na representação e "x" indica a medida correspondente no objeto ou espaço real. Quando a escala é menor que 1 (por exemplo, 1:50 ou 1/50), a representação é reduzida em relação ao tamanho real, o que ocorre comumente em mapas e plantas baixas. Se a escala for maior que 1 (por exemplo, 5:1 ou 5/1), a representação é ampliada, como em modelos de objetos ampliados para facilitar a visualização de detalhes.

Ao trabalhar com escalas, é importante manter a proporção em todas as dimensões (comprimento, largura e altura) para garantir uma representação precisa e realista do objeto ou espaço.

A escala numérica e a escala gráfica são duas maneiras diferentes de representar a relação entre as dimensões de um mapa e as dimensões reais do espaço geográfico que ele representa. Ambas ajudam a entender o tamanho das características no mapa em relação ao tamanho real.

Em resumo, a escala numérica é uma representação matemática da relação entre as dimensões do mapa e as dimensões reais do espaço geográfico, enquanto a escala gráfica é uma representação visual dessa relação, facilitando a medição de distâncias diretamente no mapa.

Grande parte das escalas matemáticas pode ser resolvida utilizando regras de três. As regras de três são métodos simples e eficientes que permitem encontrar proporções entre grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. Ao lidar com escalas numéricas em mapas ou outros contextos, é comum aplicar regras de três para calcular distâncias, áreas ou outras medidas relacionadas, mantendo a proporção entre as dimensões representadas e as dimensões reais do espaço geográfico em estudo.