Planejativo

Triângulo retângulo: relações trigonométricas

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Semelhança de triângulos

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Quadriláteros e Hexágonos

Circunferência e Círculo

Geometria de posição: Posições relativas e Projeção ortogonal

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Cones e Troncos de cones

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Estudo da circunferência

Triângulo retângulo: relações métricas

Triângulo equilátero

Lei dos senos e dos cossenos

Teorema de Tales

Pirâmides e Troncos de pirâmides

Prismas

Sólidos inscritos

Alguns pontos-chave dessa matéria para o ENEM que devem ser levados em conta ao estudarmos são:

1. Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo

Hoje, vamos começar um tópico muito interessante que é a trigonometria. Eu sei que alguns de vocês podem estar pensando, "Oh, não! Não a trigonometria!" Mas eu prometo que vocês vão se divertir aprendendo isso, porque a trigonometria é uma ferramenta incrivelmente útil que nos ajuda a entender e resolver problemas do mundo real de maneiras que poucas outras áreas da matemática conseguem.

A palavra trigonometria vem do grego. "Trigonon" significa triângulo e "metron" significa medida. Portanto, podemos dizer que a trigonometria é a "medida dos triângulos".

Tudo bem, mas o que isso realmente significa?

Vamos pensar em uma situação comum: você está num campo de futebol e quer passar a bola para um colega. Você precisa calcular a distância e o ângulo corretos para que a bola chegue ao seu colega e não para o adversário! Ou quando você joga um jogo de vídeo game e precisa apontar corretamente para acertar um alvo, o que você acha que está fazendo? Exatamente, você está usando conceitos de trigonometria!

Na trigonometria, lidamos com ângulos e lados de triângulos, e os relacionamentos entre eles. Há três funções trigonométricas básicas que você provavelmente já ouviu falar: seno, cosseno e tangente. Cada uma dessas funções nos dá uma maneira diferente de olhar para a relação entre os ângulos e os lados de um triângulo.

A trigonometria é usada em muitos campos, incluindo engenharia, física, astronomia e informática. Por exemplo, quando engenheiros projetam pontes, eles precisam entender os ângulos e as forças em jogo. Astrônomos usam trigonometria para calcular distâncias no espaço. E na informática, a trigonometria é usada em coisas como processamento de imagens e gráficos 3D.

Então, embora possa parecer um pouco assustadora no início, a trigonometria é uma habilidade essencial que tem uma infinidade de aplicações no mundo real. E eu prometo, uma vez que você comece a entender como ela funciona, você verá o quanto é realmente divertida! Agora, vamos entrar nisso e começar a aprender sobre senos, cossenos e tangentes!

Um belo mapa mental com os conceitos de seno, cosseno e tangente! Fonte: 

 é um tipo especial de triângulo que tem um ângulo de 90 graus (ângulo reto). Em um triângulo retângulo, o lado mais longo, oposto ao ângulo reto, é chamado de hipotenusa. Os outros dois lados são chamados de catetos - um é o cateto adjacente ao ângulo de interesse (não o ângulo reto) e o outro é o cateto oposto a esse ângulo.

 são funções trigonométricas que descrevem as relações entre os ângulos e os lados de um triângulo retângulo.

Formalmente, podemos escrever isso como: sin(θ) = comprimento do cateto oposto / comprimento da hipotenusa

Formalmente, isso é: cos(θ) = comprimento do cateto adjacente / comprimento da hipotenusa

Formalmente, isso é: tan(θ) = comprimento do cateto oposto / comprimento do cateto adjacente

Essas funções nos permitem usar ângulos e proporções de lados em cálculos e provas, e são a base de muitos conceitos em trigonometria. Portanto, se você puder lembrar o que cada uma delas significa e como são calculadas, você estará bem encaminhado para entender a trigonometria!

Os ângulos notáveis são aqueles que têm valores de seno, cosseno e tangente que podemos facilmente lembrar, e que frequentemente aparecem em problemas de trigonometria. Esses ângulos são tipicamente 0°, 30°, 45°, 60° e 90°.

Aqui estão alguns valores de seno, cosseno e tangente para esses ângulos notáveis:

Saber esses valores de cor é muito útil ao resolver problemas de trigonometria, pois eles frequentemente aparecem. Além disso, esses ângulos também ajudam a entender os padrões e simetrias nas funções trigonométricas, que são fundamentais para muitos aspectos da matemática, da física à engenharia, e muito mais.

Para 30º, 45º e 60º, temos um truque especial:

c) Primeira Relação Fundamental da Trigonometria

Claro, vamos falar sobre a primeira relação fundamental da trigonometria, também conhecida como identidade pitagórica.

Em qualquer triângulo retângulo, se você chamar o comprimento do lado oposto ao ângulo θ de "o", o comprimento do lado adjacente de "a" e o comprimento da hipotenusa de "h", então as funções seno, cosseno e tangente de θ são definidas como:

Agora, a primeira relação fundamental da trigonometria (uma ótima demonstração está 

), que é realmente uma expressão da relação pitagórica, afirma que para qualquer ângulo θ em um triângulo retângulo:

Isso significa que o quadrado do seno de um ângulo mais o quadrado do cosseno do mesmo ângulo sempre será igual a 1, independentemente do valor de θ. Essa é uma relação fundamental na trigonometria, e é usada como base para muitas outras identidades e teoremas na trigonometria e em outros ramos da matemática.

É importante notar que isso vale para qualquer ângulo θ, não apenas para ângulos notáveis. Portanto, essa identidade é uma ferramenta poderosa para resolver muitos problemas em matemática, física e engenharia.

A tangente de um ângulo em um triângulo retângulo é definida como a razão entre o comprimento do lado oposto e o comprimento do lado adjacente ao ângulo. Sua fórmula básica é:

Esta é uma das identidades trigonométricas mais fundamentais e é extremamente útil quando se trabalha com problemas que envolvem tangentes.