Planejativo

Função composta e Função inversa

Teoria dos conjuntos

Conjuntos numéricos e Intervalos reais

Progressão aritmética (PA)

Progressão geométrica (PG)

Teoria geral de funções

Função constante e Função afim

Função do segundo grau (quadrática)

Função exponencial

Propriedades dos logaritmos

Função modular

Matriz e Determinante

Função logarítmica

Funções trigonométricas

Alguns pontos-chave dessa matéria para o ENEM que devem ser levados em conta ao estudarmos são:

1. Função Composta  e Função Inversa

 do que é uma função composta e uma função inversa. Fonte: 

Uma função composta é um conceito importante na matemática que combina duas ou mais funções para criar uma nova função. Vamos entender isso de maneira didática e simples.

Imagine que você tem duas máquinas, uma chamada "Função F" e outra chamada "Função G". A primeira máquina (Função F) recebe um objeto (valor de entrada ou x) e o transforma em outro objeto (valor de saída ou f(x)). A segunda máquina (Função G) recebe o objeto transformado pela primeira máquina (valor de saída de F ou f(x)) e o transforma novamente em um novo objeto (valor de saída ou g(f(x))). A função composta é a combinação dessas duas transformações em uma única função, denotada como "GoF" ou "g ∘ f".

A função composta g ∘ f é definida como:

Em outras palavras, a função composta g ∘ f aplica primeiro a função F ao valor de entrada x e, em seguida, aplica a função G ao resultado.

Vamos ver um exemplo de função composta usando duas funções F e G:

Função F: f(x) = 2x + 1 Função G: g(x) = x²

Para encontrar a função composta g ∘ f, aplicamos primeiro a função F ao valor de entrada x e, em seguida, aplicamos a função G ao resultado:

Agora, substituímos a função G na equação:

Portanto, a função composta g ∘ f é:

Observe que a ordem das funções é importante na composição. Se compusermos as funções na ordem inversa, f ∘ g, obteríamos uma função diferente:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x²) = 2x² + 1

Em resumo, a função composta combina duas ou mais funções em uma única função, aplicando as transformações em sequência. A notação para a função composta é g ∘ f ou GoF, e a função composta é definida como (g ∘ f)(x) = g(f(x)). A ordem das funções é importante na composição, e compor funções em ordens diferentes pode resultar em funções distintas.

Graficamente, as funções inversas parecem simétricas. 

Uma função inversa é um conceito importante na matemática que permite "desfazer" ou reverter o processo realizado por uma função original. Vamos entender isso de maneira didática e simples.

Imagine que você tem uma máquina chamada "Função F". Essa máquina recebe um objeto (valor de entrada ou x) e o transforma em outro objeto (valor de saída ou f(x)). Agora, vamos supor que você queira desfazer essa transformação e recuperar o objeto original (valor de entrada) a partir do objeto transformado (valor de saída). Para isso, você precisaria de uma nova máquina chamada "Função Inversa de F", denotada como F

 realiza exatamente o processo oposto da função original F. Ela recebe como entrada o valor de saída da função F (f(x)) e retorna o valor de entrada original (x). Em outras palavras, se F(x) = y, então F

No entanto, nem todas as funções possuem inversas. Para que uma função tenha uma inversa, ela deve ser bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora. Isso garante que cada elemento no domínio da função F tenha um único elemento correspondente no contradomínio e vice-versa.

Vamos ver um exemplo de função e sua inversa:

Função F: f(x) = 2x + 3 Para encontrar a função inversa F

Finalmente, resolvemos a equação para y:

Para verificar se as funções são realmente inversas uma da outra, podemos compor F com F

 e vice-versa. Se obtivermos a identidade em ambos os casos, as funções são inversas:

(x)) = F((x - 3) / 2) = 2((x - 3) / 2) + 3 = x

(F(x)) = F^(-1)(2x + 3) = ((2x + 3) - 3) / 2 = x

Em resumo, a função inversa é uma ferramenta matemática que permite reverter o processo realizado por uma função original. Para que uma função possua uma inversa, ela deve ser bijetora. A função inversa é denotada como F

 e pode ser usada para recuperar o valor de entrada original a partir do valor de saída da função F.

Alguns outros exemplos de função inversa. Fonte: 

O inverso de uma função é uma notação usada para representar o valor de uma função que, quando somado ou multiplicado pelo valor da função original, resulta no elemento neutro da operação em questão (geralmente 0 para adição e 1 para multiplicação). O inverso de uma função não é uma função completa como a função inversa, mas sim uma relação entre os valores de entrada e saída da função original.

Para esclarecer a diferença, considere uma função simples:

O inverso multiplicativo dessa função é:

Em resumo, a função inversa é uma função completa que reverte o processo realizado por uma função original, enquanto o inverso de uma função é uma relação entre os valores de entrada e saída da função original, usada para representar o elemento que, quando combinado com a função original através de uma operação específica, resulta no elemento neutro dessa operação (0 para adição e 1 para multiplicação).