Planejativo

Pirâmides e Troncos de pirâmides

Ângulos

Semelhança de triângulos

Polígonos

Quadriláteros e Hexágonos

Circunferência e Círculo

Geometria de posição: Posições relativas e Projeção ortogonal

Poliedros

Cilindros

Cones e Troncos de cones

Esferas

Estudo do ponto

Estudo da reta

Estudo da circunferência

Triângulo retângulo: relações métricas

Triângulo equilátero

Lei dos senos e dos cossenos

Triângulo retângulo: relações trigonométricas

Teorema de Tales

Prismas

Sólidos inscritos

Alguns pontos-chave dessa matéria para o ENEM que devem ser levados em conta ao estudarmos são:

Um belo mapa mental sobre Pirâmides, disponível em: 

Vamos dar uma olhada em uma das formas mais fascinantes no mundo da geometria - a pirâmide! Assim como as pirâmides do Egito que você provavelmente já ouviu falar, uma pirâmide na geometria também tem um aspecto único e interessante.

Agora, o que é uma pirâmide? Bem, é uma figura especial que chamamos de poliedro. Isso pode parecer um pouco complicado, mas é basicamente uma forma tridimensional que tem superfícies planas e ângulos retos.

Uma pirâmide é composta de duas partes principais. Primeiro, temos a base. Imagine que a base é como o chão onde a pirâmide está. Esta base pode ter diferentes formas. Pode ser um triângulo, um quadrado, um retângulo, ou até um pentágono, assim como o prédio do Pentágono nos Estados Unidos!

Alguns conceitos iniciais de uma pirâmide. Fonte: 

Depois, temos o vértice. Pense no vértice como o pico da pirâmide, como o ponto mais alto de uma montanha. É o ponto que fica mais longe da base, e é de onde todos os lados da pirâmide saem. Imagine que você está subindo uma pirâmide - o vértice é onde você estaria se estivesse no topo olhando para baixo!

Agora, o interessante é que o número de lados da base de uma pirâmide determina quantos lados, ou faces, a pirâmide terá. Se a base for um quadrado, a pirâmide terá quatro faces. Se a base for um triângulo, a pirâmide terá três faces. Legal, né?

Agora vamos fazer um pequeno tour pela pirâmide e entender seus elementos:

Então aí está - essa é a nossa visita guiada à incrível pirâmide da geometria! Agora, quando você encontrar uma pirâmide em um problema de matemática, você saberá exatamente o que cada parte significa. Bom estudo!

Então, agora que sabemos um pouco sobre o que é uma pirâmide, vamos explorar os diferentes tipos de pirâmides que podemos encontrar na geometria. É como se estivéssemos em um safári geométrico, e hoje nosso objetivo é identificar e classificar pirâmides!

Agora, além dessas classificações baseadas na forma da base, as pirâmides também podem ser classificadas com base em como a base se inclina:

Que tal aprofundarmos nosso entendimento das pirâmides com algumas relações matemáticas e maneiras de calcular a área e o volume? Isso é realmente útil, especialmente quando estamos lidando com problemas de geometria. E não se preocupe, temos nosso confiável amigo, o Teorema de Pitágoras, para nos ajudar a estabelecer essas relações.

Vamos começar com algumas relações que podem ser estabelecidas usando o Teorema de Pitágoras:

Agora que temos algumas relações, vamos calcular a área e o volume de uma pirâmide:

Uma pirâmide é chamada de "regular" quando a base é um polígono regular (todos os lados e ângulos iguais) e o vértice está exatamente sobre o centro do polígono da base. Em outras palavras, a altura da pirâmide forma um ângulo de 90 graus com a base. Nesse caso, a altura (h), o raio da base (r) e o apótema lateral (m') formam um triângulo retângulo. Da mesma forma, o lado da base (b), o apótema da base (m) e metade do lado da base formam outro triângulo retângulo.

Agora, vamos ver como as fórmulas para área e volume se aplicam a uma pirâmide regular:

Essas fórmulas ainda dependem do Teorema de Pitágoras e da definição de uma pirâmide regular. O importante é entender que, em uma pirâmide regular, todas as faces laterais são iguais e a altura é perpendicular à base. Isso simplifica bastante os cálculos, como visto no mapa mental no início da aula!

Então, o que é um tronco de pirâmide? Imagine uma pirâmide. Agora, imagine cortá-la com uma fatia plana, de forma que você tenha duas partes: uma pequena pirâmide na parte superior e um pedaço da base da pirâmide na parte inferior. Esse pedaço de base é o que chamamos de "tronco de pirâmide". Aqui está uma imagem para ajudar a visualizar:

Agora, vamos observar algumas características interessantes deste tronco de pirâmide:

Entender a estrutura de um tronco de pirâmide é importante, pois ele é uma figura bastante comum na vida cotidiana. Por exemplo, muitos objetos, como vasos de flores ou lápis, têm a forma de um tronco de pirâmide. Então, mantenha-se atento à geometria em sua volta, porque ela pode aparecer onde você menos espera!

Como falamos anteriormente, um tronco de pirâmide tem duas bases - uma base maior e uma base menor - e uma superfície lateral. A forma da superfície lateral sempre será formada por trapézios isósceles, independentemente do formato da base da pirâmide. Então, se você tem uma pirâmide com base hexagonal, por exemplo, a superfície lateral do tronco de pirâmide será formada por seis trapézios isósceles.

Quer calcular a área total do tronco de pirâmide? Aqui está a fórmula:

Nessa equação, "St" é a área total, "Sl" é a área da superfície lateral, "SB" é a área da base maior e "Sb" é a área da base menor. Então, para encontrar a área total, tudo que você precisa fazer é somar as áreas da superfície lateral, da base maior e da base menor.

Agora, vamos falar sobre o volume do tronco de pirâmide. Para calculá-lo, vamos considerar a diferença entre o volume da pirâmide original (maior) e o volume da pequena pirâmide que foi removida para formar o tronco. Em termos de altura do tronco e das áreas de suas bases, a fórmula do volume é:

Nesta fórmula, "V" representa o volume do tronco, "h" é a altura do tronco, "SB" é a área da base maior e "Sb" é a área da base menor.

Primeiro, precisamos entender que dois polígonos são semelhantes quando podemos combinar seus vértices e lados de tal forma que os ângulos correspondentes sejam congruentes (ou seja, do mesmo tamanho) e os lados correspondentes sejam proporcionais.

Aqui estão alguns pontos importantes sobre isso:

Vamos dar um exemplo concreto para ilustrar esses conceitos:

Imagine que temos uma pirâmide com altura de 30 cm e uma área de base de 150 cm². Suponha que façamos um corte na pirâmide paralelo à base a 17 cm dela, formando um tronco de pirâmide. Queremos encontrar a área da secção de corte superior.

Primeiro, calculamos a altura da nova pirâmide menor (acima do corte), que é 30 - 17 = 13 cm. A razão de semelhança, ou "k", entre a pirâmide menor e o tronco de pirâmide é então 13/30.

Lembrando que a razão entre as áreas de figuras semelhantes é k², podemos encontrar a área da secção superior ao multiplicar a área da base original pela razão de semelhança ao quadrado:

Área da secção = 150 * (13/30)² ≈ 28,2 cm².

E aí está! Usando a semelhança de figuras, conseguimos resolver um problema aparentemente complicado de forma bastante simples.