Planejativo

Sólidos inscritos

Ângulos

Semelhança de triângulos

Polígonos

Quadriláteros e Hexágonos

Circunferência e Círculo

Geometria de posição: Posições relativas e Projeção ortogonal

Poliedros

Cilindros

Cones e Troncos de cones

Esferas

Estudo do ponto

Estudo da reta

Estudo da circunferência

Triângulo retângulo: relações métricas

Triângulo equilátero

Lei dos senos e dos cossenos

Triângulo retângulo: relações trigonométricas

Teorema de Tales

Pirâmides e Troncos de pirâmides

Prismas

Alguns pontos-chave dessa matéria para o ENEM que devem ser levados em conta ao estudarmos são:

 sobre alguns sólidos inscritos e circunscritos. Fonte: 

Inscrição e circunscrição são conceitos da geometria espacial que envolvem a relação entre diferentes sólidos geométricos. Para entender melhor, vamos considerar o exemplo de um cilindro e um cone.

Quando falamos de "inscrição", estamos nos referindo a um sólido que está completamente contido dentro de outro. Isso significa que todas as partes do sólido inscrito estão dentro do outro sólido.

Vamos pegar um cilindro e um cone, por exemplo. Se pegarmos um cone e o colocarmos dentro de um cilindro de maneira que a base do cone esteja perfeitamente alinhada com a base do cilindro e o vértice do cone toque o topo do cilindro, então podemos dizer que o cone está inscrito no cilindro.

A "circunscrição", por outro lado, refere-se ao oposto da inscrição. No caso da circunscrição, o sólido maior é o que está contendo o outro. No exemplo do cilindro e do cone, se o cilindro estivesse dentro do cone (com as bases alinhadas e o topo do cilindro tocando o vértice do cone), diríamos que o cilindro está circunscrito ao cone.

Espero que isso tenha esclarecido os conceitos de inscrição e circunscrição de sólidos. Essas são ideias fundamentais da geometria espacial e são muito úteis para entender a relação entre diferentes formas e volumes!

Em um cenário onde um cilindro circular reto é colocado dentro de um prisma regular, o raio da base do cilindro corresponde ao raio do círculo que cabe perfeitamente dentro da base do prisma. Em outras palavras, o raio da base do cilindro é igual ao apótema da base do prisma. Um exemplo comum disso é um cilindro colocado dentro de um prisma hexagonal regular.

Por outro lado, se o prisma regular é colocado dentro de um cilindro circular reto, então o raio da base do cilindro corresponde ao raio do círculo que engloba a base do prisma. Para ilustrar, imagine um prisma hexagonal regular inserido dentro de um cilindro.

Uma pirâmide está inscrita em um cone quando ela está completamente contida dentro do cone. Nessa configuração, a base da pirâmide coincide com a base do cone, e o vértice da pirâmide é o mesmo que o vértice do cone. O cone, portanto, envolve completamente a pirâmide e toca seus vértices.

Nesse caso, podemos dizer que o cone e a pirâmide têm a mesma altura e a mesma área de base.

Para que uma pirâmide circunscreva um cone, o cone deve estar completamente contido dentro da pirâmide. No entanto, devido às diferentes formas das superfícies da pirâmide e do cone, uma pirâmide não pode circunscrever perfeitamente um cone sem que haja espaço extra dentro da pirâmide que não é preenchido pelo cone.

Aqui, temos que entender que em um cenário prático, esse tipo de situação é altamente improvável, pois as geometrias desses sólidos não se sobrepõem perfeitamente. Portanto, na maior parte das vezes, não encontramos pirâmides circunscritas em cones na matemática.

Quando falamos sobre uma esfera inscrita em um cubo, queremos dizer que a esfera está completamente contida dentro do cubo e toca todas as faces do cubo. A esfera estará em contato com o cubo nos centros de cada uma das suas faces.

Aqui é importante lembrar que o diâmetro da esfera inscrita é igual ao comprimento da aresta do cubo, uma vez que a esfera toca todas as faces do cubo.

Por outro lado, quando uma esfera circunscreve um cubo, o cubo está inteiramente contido dentro da esfera, de tal modo que os vértices do cubo estão na superfície da esfera.

O diâmetro da esfera circunscrita é igual à medida da diagonal do cubo, uma vez que a esfera precisa ser grande o suficiente para conter todos os vértices do cubo.

Quando uma esfera está inscrita em um cilindro circular reto, a altura do cilindro é igual ao diâmetro da esfera, e o raio da base do cilindro tem a mesma dimensão que o raio da esfera.

Note que esse cilindro é equilátero, ou seja, tem a mesma medida de sua altura e diâmetro. Além disso, a área lateral do cilindro corresponde à área da superfície da esfera (Área lateral do cilindro = Área da esfera = 4πR²).

Por outro lado, se uma esfera é circunscrita em um cilindro circular reto, o diâmetro da esfera será equivalente à diagonal da seção do cilindro cortada ao longo de sua altura.

Quando uma esfera está inserida dentro de um cone, podemos visualizar um padrão de triângulos semelhantes na seção meridiana do cone.

Para tornar isso mais fácil de entender, vamos imaginar uma "fatia" do cone, onde A é o ponto no topo do cone, O é o centro da esfera com um raio r, B é o centro da base do cone com um raio R, e D é onde a linha geradora AC se cruza com a esfera. Agora, os triângulos ABC e AOD são semelhantes, o que nos permite estabelecer uma proporção entre os raios do cone e da esfera (R/r = g/h – r).

Agora, se a esfera está circunscrita ao cone, ou seja, se ajusta exatamente ao cone, o diâmetro da esfera que passa pelo topo do cone forma um triângulo retângulo com qualquer ponto na base do cone.

Imagine um triângulo retângulo chamado VV'A, no qual a altura em relação à hipotenusa é a mesma que o raio r da base do cone, e as projeções dos lados do triângulo sobre a hipotenusa têm medidas h e 2R - h. 

A partir das relações métricas em um triângulo retângulo, podemos criar a seguinte equação: 