Planejativo

Arranjo

Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

Fatorial

Permutação simples e Permutação circular

Estatística: Visão geral, Organização e Representação de dados

Estatística: Médias, Medidas de tendência central e de dispersão

Interpretação de gráficos

Probabilidade: Visão geral

Probabilidade da união de eventos

Combinação

Probabilidade condicional

Probabilidade de eventos simultâneos

Alguns pontos-chave dessa matéria para o ENEM que devem ser levados em conta ao estudarmos são:

Nos arranjos, a ordem dos elementos é importante. Fonte: 

Arranjos são uma das técnicas fundamentais da análise combinatória, utilizada para calcular o número de maneiras de organizar objetos distintos em grupos, levando em consideração a ordem em que eles aparecem. Em outras palavras, um arranjo é uma seleção ordenada de elementos de um conjunto.

As utilidades dos arranjos são amplas e aparecem em diversos campos, como matemática, estatística, ciência da computação e logística. Eles são úteis para resolver problemas que envolvem permutações, sequências e combinações de elementos em diferentes contextos. Algumas aplicações práticas incluem:

Em resumo, arranjos desempenham um papel crucial na análise combinatória e são aplicáveis a uma ampla gama de problemas, nos quais a ordem dos elementos é relevante.

A fórmula geral de um arranjo, denotada por A(n, p), é dada por:

onde n é o número total de elementos no conjunto, p é o número de elementos a serem selecionados no arranjo e "!" representa o fatorial.

Vamos aplicar essa fórmula em um exemplo:

Imagine que você tem 5 cartas diferentes (n = 5) e deseja organizar 3 delas (p = 3) em uma sequência. Para calcular o número de arranjos possíveis, aplique a fórmula A(5, 3):

A(5, 3) = 5! / (5 - 3)! A(5, 3) = 5! / 2! A(5, 3) = 120 / 2 A(5, 3) = 60

Portanto, há 60 diferentes arranjos possíveis para organizar 3 das 5 cartas em uma sequência.

Existem dois tipos principais de arranjos: arranjos simples e arranjos com repetição.

Os arranjos simples são aqueles em que cada elemento do conjunto pode ser selecionado apenas uma vez. Eles são aplicáveis em situações onde a repetição de elementos não é permitida.

Exemplo: Suponha que você tenha um conjunto de 4 letras diferentes (n = 4) e queira formar palavras de 3 letras (p = 3) sem repetição. O número de arranjos simples seria:

Há 24 diferentes palavras de 3 letras que podem ser formadas com 4 letras distintas sem repetição.

Os arranjos com repetição permitem que os elementos do conjunto sejam selecionados mais de uma vez. Eles são aplicáveis em situações onde a repetição de elementos é permitida.

Exemplo: Considere o mesmo conjunto de 4 letras diferentes (n = 4) e queira formar palavras de 3 letras (p = 3), mas, desta vez, permitindo repetições. O número de arranjos com repetição seria:

Há 64 diferentes palavras de 3 letras que podem ser formadas com 4 letras distintas permitindo repetições.

É verdade que muitos problemas envolvendo arranjos podem ser resolvidos utilizando o Princípio Fundamental da Contagem (PFC). Isso acontece porque o PFC é uma ferramenta versátil para lidar com situações de contagem onde a escolha ou ordenação de elementos é importante.

No entanto, é importante entender que os conceitos de arranjos e PFC são complementares. Arranjos oferecem uma abordagem mais direta e específica para resolver problemas em que a ordem dos elementos importa, enquanto o PFC é uma ferramenta geral que pode ser aplicada a uma variedade de situações.

Ao utilizar arranjos, estamos lidando diretamente com a fórmula matemática que leva em consideração a quantidade de elementos, o número de posições e a ordem em que eles são selecionados. Isso simplifica e agiliza a resolução de problemas de contagem específicos, evitando a necessidade de construir diagramas de árvore ou descrever todas as etapas do processo de seleção.

No entanto, em muitos casos, o PFC pode ser usado como uma alternativa para resolver problemas que envolvem arranjos. Essa abordagem geralmente envolve decompor o problema em etapas e determinar o número de possibilidades para cada etapa. O produto desses números fornece a solução do problema.

Em resumo, embora o PFC possa ser aplicado a muitos problemas de arranjo, os conceitos de arranjos simples e com repetição são úteis para abordar de maneira direta e específica problemas onde a ordem dos elementos é importante. A escolha entre usar arranjos ou PFC geralmente depende das preferências do estudante e da complexidade do problema em questão.

Resolvendo uma questão tanto por Arranjo quanto por PFC.

Os livros podem ser organizados tanto por Arranjo quanto por PFC, mas saber Arranjo acelera o processo. Não entendeu? Veja o exemplo abaixo! Fonte: 

Vamos considerar um exemplo simples. Suponha que você tenha 5 livros diferentes (A, B, C, D e E) e deseje colocá-los em uma prateleira com espaço para apenas 3 livros. Quantas maneiras diferentes existem para organizar esses livros na prateleira, considerando que a ordem em que eles são colocados é importante?

Usando arranjos: Neste caso, temos 5 livros e queremos selecionar 3 deles. A fórmula geral para um arranjo é A(n, p) = n! / (n - p)!, onde n é o número total de elementos e p é o número de elementos a serem selecionados. Aplicando a fórmula, temos:

A(5, 3) = 5! / (5 - 3)! A(5, 3) = 5! / 2! A(5, 3) = (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1) A(5, 3) = 60

Portanto, há 60 maneiras diferentes de organizar os 3 livros na prateleira.

Usando o PFC: Podemos abordar o problema usando o Princípio Fundamental da Contagem, decompondo a questão em etapas:

1ª etapa: Escolher o primeiro livro para a prateleira. Temos 5 opções. 2ª etapa: Escolher o segundo livro para a prateleira. Como já colocamos um livro, agora temos 4 opções. 3ª etapa: Escolher o terceiro livro para a prateleira. Com dois livros já na prateleira, restam 3 opções.

De acordo com o PFC, multiplicamos o número de opções em cada etapa para obter o total de possibilidades:

Assim, usando o PFC, também encontramos 60 maneiras diferentes de organizar os 3 livros na prateleira. Neste exemplo, tanto os arranjos quanto o PFC levam à mesma solução.