Planejativo

Lei dos senos e dos cossenos

Ângulos

Semelhança de triângulos

Polígonos

Quadriláteros e Hexágonos

Circunferência e Círculo

Geometria de posição: Posições relativas e Projeção ortogonal

Poliedros

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Cones e Troncos de cones

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Estudo do ponto

Estudo da reta

Estudo da circunferência

Triângulo retângulo: relações métricas

Triângulo equilátero

Triângulo retângulo: relações trigonométricas

Teorema de Tales

Pirâmides e Troncos de pirâmides

Prismas

Sólidos inscritos

Alguns pontos-chave dessa matéria para o ENEM que devem ser levados em conta ao estudarmos são:

Algumas das principais transformações trigonométricas! Fonte: @escoladenumeros

Hoje, vamos embarcar em uma viagem emocionante e um tanto quanto mágica ao maravilhoso mundo das Transformações Trigonométricas. Imagine que você é um mágico - e suas ferramentas mágicas são as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente.

Agora, vocês devem estar pensando: "O que um mágico faz?" Ele transforma coisas, certo? Transforma uma cartola em um coelho, um lenço em uma pomba, e assim por diante. Então, assim como um mágico, vamos aprender a transformar expressões trigonométricas complexas em expressões mais simples e manejáveis.

As transformações trigonométricas, de forma geral, são ferramentas que nos ajudam a simplificar ou a reformular expressões trigonométricas. Elas envolvem as identidades que já conhecemos, como a identidade pitagórica, as identidades das funções de seno, cosseno e tangente, e outras.

Por exemplo, se tivermos uma expressão como sen²x) + cos²(x), sabemos que podemos transformá-la em 1, graças à relação fundamental da trigonometria. É como se tivéssemos uma varinha mágica que transforma um coelho gigante e desajeitado (sen²(x) + cos²(x)) em um adorável e manejável hamster (1).

Mas lembre-se, a magia das transformações trigonométricas não se limita a simplificar as coisas. Às vezes, queremos transformar uma expressão em outra para nos ajudar a resolver um problema específico, como uma integração difícil ou para resolver uma equação trigonométrica.

Então, preparem suas varinhas mágicas, ou melhor, suas calculadoras e canetas, porque vamos mergulhar profundamente nas transformações trigonométricas e descobrir todos os truques que estão escondidos nessas maravilhosas ferramentas matemáticas!

Hoje vamos brincar com a soma e diferença de ângulos em trigonometria. Sabiam que há fórmulas específicas para lidar com isso? Isso mesmo! E é sobre elas que vamos falar.

, como a + b, podemos usar as seguintes fórmulas mágicas:

E para a tangente? Bem, temos uma fórmula especial para ela também:

Vamos entender isso com um exemplo divertido. Imagine que temos que calcular o cos(105°). Eu sei, eu sei, 105° não é um dos ângulos notáveis que estamos acostumados, certo? Mas e se dissermos que 105° é a soma de 45° e 60°, que são ângulos notáveis? Isso facilita muito as coisas! Podemos usar a fórmula de cosseno da soma:

cos(45° + 60°) = cos 45° ⸳ cos 60° – sen 45° · sen 60°

Substituímos cada valor pelos seus respectivos valores conhecidos e... voilà! Temos o cos(105°).

, temos fórmulas específicas para isso também!

Vamos para um exemplo? Imagine que queremos calcular sen(15°). A princípio, pode parecer complicado. Mas se a gente quebrar o ângulo de 15° como a diferença de 45° e 30°, a coisa fica mais fácil! Usamos a fórmula do seno da diferença, substituímos os valores e... temos o sen(15°)!

Então, sempre lembrem, pessoal: se vocês se depararem com ângulos difíceis, tentem dividir ou somar para torná-los mais amigáveis! As fórmulas de soma e diferença estão aqui para nos ajudar.

Agora é hora de falar sobre os superpoderes dos arcos duplos e metades. As fórmulas de arcos duplos e metades são como pequenos truques de mágica que podemos usar quando lidamos com arcos que são o dobro ou a metade de um ângulo conhecido.

Vamos começar com os arcos duplos. Essas fórmulas são como gêmeos idênticos dos arcos que conhecemos. Basicamente, usamos as fórmulas da soma de dois arcos, mas agora para dois arcos idênticos!

O seno do arco duplo é dado por: sen(2a) = 2sen(a) · cos(a)

O cosseno do arco duplo é: cos(2a) = cos(a)² – sen(a)²

Por exemplo, se nos é dado que sen(a) = 0,9 e cos(a) = 0,4, podemos calcular o valor de cos(2a) substituindo na fórmula do cosseno de arco duplo:

E o que dizer do arco metade? Ele é como o pequeno irmão de um ângulo conhecido. Vamos olhar as fórmulas para ele:

Vamos a um exemplo: suponhamos que queiramos encontrar o valor da tangente de um ângulo de 15°. O truque aqui é que 15° é a metade de 30°, um ângulo notável. Então, podemos usar a fórmula da tangente do arco metade para encontrar a solução

magine um triângulo, pode ser qualquer triângulo, não precisa ser retângulo. Agora, essa regra legal chamada Lei dos Senos nos diz que em qualquer triângulo, a razão entre o comprimento de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado é sempre a mesma.

Isso quer dizer que, não importa qual lado ou qual ângulo escolhemos para fazer a divisão, o resultado vai ser sempre igual. Legal, não é?

Para tornar isso mais concreto, vamos fazer um exemplo. Imagine que temos um triângulo com um lado de comprimento 'b' e que queremos calcular os comprimentos dos outros dois lados em termos de 'b'. Se usarmos a Lei dos Senos, podemos definir a seguinte relação para os lados AB e BC:

AB / senB = b / senA BC / senC = b / senA

Agora, vamos supor que senB = 0,8 e senC = 1,1. Então, usando a Lei dos Senos, podemos encontrar o comprimento dos lados AB e BC como:

Portanto, os comprimentos dos lados AB e BC seriam 0,8b e 1,1b, respectivamente. Incrível, não é? E é assim que a Lei dos Senos nos ajuda a resolver triângulos que não são retângulos!

Quem já ouviu falar da Lei dos Cossenos? Ela é uma ferramenta fantástica que nos ajuda a descobrir um lado ou um ângulo desconhecido de qualquer triângulo, contanto que conheçamos algumas das outras medidas.

Vamos imaginar a seguinte situação. Você tem um triângulo e conhece dois de seus lados e o ângulo formado por esses lados, mas não tem ideia de como descobrir o comprimento do terceiro lado. O que fazer? Aqui é onde a Lei dos Cossenos entra!

O quadrado de um lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o produto desses lados pelo cosseno do ângulo entre eles.

Ou seja, se tivermos um triângulo com lados de comprimento a, b, e c, e ângulos A, B, e C (com o ângulo A oposto ao lado a, e assim por diante), a Lei dos Cossenos nos dá:

Vamos agora a um exemplo prático para entender melhor como funciona.

Imagine um triângulo onde dois dos lados medem 20 cm e 12 cm e formam entre si um ângulo de 120º. Queremos calcular o comprimento do terceiro lado. Vamos usar a Lei dos Cossenos!

Suponha que os lados conhecidos são 'b' e 'c', e o ângulo formado entre eles é 'A'. Assim, temos b = 20 cm, c = 12 cm, e cosA = cos(120º) = -0.5.

E então, tiramos a raiz quadrada para encontrar 'a':

E é isso! O terceiro lado do triângulo mede 28 cm. E essa, pessoal, é a magia da Lei dos Cossenos!