Crie um plano de estudos grátis no Planejativo e mande bem no ENEM 2022!
MT MAT-BAS Matemática Básica
As quatro operações e Expressões numéricas

Introdução

A matemática é o estudo dos números e de como eles se relacionam uns com os outros e com o mundo real. A matemática é tão importante quanto a linguagem — na verdade, ela também pode ser considerada uma espécie de linguagem. Todos usam a matemática no dia a dia: para dizer as horas, para jogar, para cozinhar, para construir coisas e para fazer quase todo tipo de trabalho.

matemática

Arquitetos trabalham na elaboração da planta de uma construção. O uso da matemática para erguer edifícios é um exemplo de matemática aplicada.© Rawpixel.com/Shutterstock.com


a) Ramos de matemática 

    Os principais ramos da matemática são

  • Aritmética

  • Álgebra 
  • Geometria.

Os demais ramos surgiram da interação entre essas três grandes áreas.

  


Para quem está conhecendo esse assunto agora, uma boa forma de entender isso é por associação. Uma associação bem grosseira, mas acredito que facilite o entendimento.

Pense assim:

  • Aritmética ->  Números -> ( concreto)
  • Álgebra -> Letras -> ( abstrato)
  • Geometria -> Figuras -> ( concreto e abstrato)

aritmetica

Aritmética

É o ramo da matemática que estuda os números e suas operações. É o ramos mais elementar da matemática, sendo a base para os demais ramos. Afinal de contas, um dos conceitos mais primitivos é a noção de quantidade. Assimilado até mesmo por um macaco. Se você colocar na frente de um macaco uma banana de um lado e um cacho de banana do outro qual será o lado que ele irá?

    Números

É um símbolo usado para definir quantidade, ordem ou medida. Foi um dos primeiros conceitos assimilados pela humanidade para sistematizar a matemática.

O números são organizados em conjuntos. Que foram sendo descobertos conforme aumentava a necessidade e o conhecimento matemático humano. São eles:

  • Números naturais (ℕ)
  • Números inteiros (ℤ)
  • Números racionais (ℚ)
  • Números irracionais
  • Números reais (ℝ)
  • Números complexos (ℂ)

    Operações

As operações matemáticas são procedimentos realizados entre os números para a concretização de uma ideia e que segue sempre uma mesma lógica ( regra). Algumas operações possuem um conjunto de propriedades notáveis.

    As operações fundamentais são:
  • Adição
  • Subtração
  • Multiplicação
  • Divisão
    Outras operações:
  • Potenciação
  • Radiciação
  • Logaritmação

matematica_financeira

Matemática financeira

A matemática financeira utiliza diversos conceitos matemáticos aplicados para estudar as várias formas de evolução do dinheiro no tempo. É um ótimo exemplo de matemática aplicada. Algumas situações estão presentes no dia-a-dia das pessoas, como por exemplo, o financiamentos de casa e carros, realizações de empréstimos, compras a crediário ou com cartão de crédito, aplicações financeiras, investimentos em bolsas de valores, entre outras situações.

geometria

Geometria

É o ramo da matemática que estuda a forma, tamanho e posição das figuras no espaço. Foi desenvolvida a partir da interação da humanidade com a terra. Daí o nome: geo (terra) + metria (medida).

É dividida em:

  • Geometria plana
  • Geometria espacial
  • Geometria analítica
  • Geometria dos fractais

 algebra

Álgebra

É o ramo da matemática que estuda a ideia de variável de um número em um conjunto de regras definidos por expressões algébricas. Essas variáveis ( representadas por letras) são manipuladas usando as regras  de operação aplicáveis aos números, como adição, multiplicação e outras.

    Funções

É a relação entre dois conjuntos estabelecida por regras definidas.

    Equações algébricas

São igualdades entre conjuntos de regras e operações do qual estão envolvida variáveis.

estatistica_combinatoria

Estatística e probabilidade

    Estatística

Trataremos como um ramo da matemática por estarmos focado na educação básica. Entretanto, estatística é uma ciência que estuda a frequência de ocorrência de eventos usando teorias probabilísticas.

    Probabilidade

Utiliza um conjunto de regras matemáticas para entender o comportamento de eventos incertos ou conhecidos. Como por exemplo, calcular a probabilidade de cair o número 3 ao ser lançado um dado.

    Análise combinatória

É o ramo da matemática que estuda a combinação e relação em um conjunto de objetos utilizando o princípio fundamental da contagem.

A matemática também pode ser dividida em duas áreas gerais: pura e aplicada. A matemática pura é o estudo subjetivo da matemática em si. A matemática aplicada é o estudo com o propósito de resolver problemas da vida real, como construir prédios, fabricar computadores, prever terremotos e explicar como a economia funciona.

A maior parte do conteúdo de matemática será visto em outro módulo, e alguns (como cálculo) não chegam a ser abordados no ensino médio.

b) História 

A matemática vem sendo usada desde a Antiguidade. Os egípcios não teriam conseguido construir as pirâmides sem um conhecimento muito profundo da matemática, especialmente da aritmética e da geometria. Os babilônios da antiga Mesopotâmia (atual Iraque) inventaram um sistema de números complexos e já usavam frações.

Os gregos antigos expandiram consideravelmente a matemática, desenvolvendo muitas novas ideias. Aproximadamente em 300 a.C., o matemático grego Euclides escreveu um importante livro de geometria chamado Elementos. Posteriormente, os árabes também contribuíram muito com a matemática. No século IX da nossa era, um matemático árabe chamado Al-Khwarizmi descreveu um sistema de solução de problemas que hoje é conhecido como álgebra.

As ideias sobre a matemática dos antigos gregos e árabes se difundiram rapidamente pela Europa ocidental. A matemática evoluiu à medida que os cientistas europeus a usavam para pesquisar outras atividades. Durante o século XVII, o astrônomo Johannes Kepler usou as novas ideias matemáticas para estudar os astros. Outros cientistas da época, como Galileu e Isaac Newton, aplicaram a matemática ao estudo do movimento. Nos séculos XIX e XX, os cientistas desenvolveram muitas formas novas de estudar e aplicar a matemática.

1. As Quatro Operações Fundamentais da Matemática

Um dos erros mais comuns na maioria dos estudos de qualquer ciência é tentar entender princípios complexos antes de ter claramente dominado os princípios básicos. Este tipo de situação é muito comum, por exemplo, em casos de pessoas que necessitam dominar complexas contas aritméticas, mas que ainda não conseguem resolver as contas mais simples. Por isso, antes de tentar dar passos longos e resolver complexas equações exponenciais que utilizam proposições de negação e teorias da trigonometria, é necessário dar uns passos atrás e entender bem as quatro equações básicas: somar, subtrair, multiplicar e dividir para então conseguir acompanhar os raciocínios mais complexos.

Vale a pena lembrar que mesmo estas equações simples têm algumas propriedades que podem influenciar e muito em suas composições. No caso das propriedades, é importante lembrar também que utilizando elas é possível conseguir resolver equações mais complexas, dado sua praticidade e sua aplicabilidade principalmente com o raciocínio lógico e alguns de seus princípios.

As Quatro Operações

Vamos analisar as quatro operações fundamentais e suas peculiaridades, relembrando princípios e utilizando sua aplicabilidade para fazer contas de maneira mais rápida e efetiva. Vamos a elas:

a) Soma – a base de tudo

A primeira conta que todas as pessoas aprendem sempre é a soma. Com ela, podemos descobrir praticamente todos os resultados necessários nas mais complexas equações matemáticas. A grande questão é que as contas mais complexas levarão a somas cada vez maiores e mais demoradas, mas que sempre chegarão ao resultado correto.

Basicamente, a soma é a adição entre dois ou mais números, que podem ser diferentes ou não. Na prática, a soma oferece grandes vantagens técnicas, já que ela é a forma mais direta e confiável de se chegar a algum resultado.

As peculiaridades das operações matemáticas de soma são a questão de sempre seguir os mesmos princípios: começar a soma de trás para frente, os números acima de 10, colocar os decimais na soma do número da frente e, no caso de contas com vírgula, colocar todos os números um embaixo do outro ordenado sempre pela vírgula, como o exemplo abaixo:

0,012+1,12+12,2 =0,0121,1212,2

Desta forma, não haverá erro em suas contas de adição, e no caso de elas acontecerem, será erro de soma, não de organização da equação.

b) Subtração – a irmã da soma

A subtração segue basicamente a mesma lógica das somas, ou seja, sua estrutura é idêntica à da soma, embora seja o contrário. Este é, por exemplo, o principal tipo de equação utilizado em planejamentos financeiros, onde a partir de um orçamento, retiramos os gastos mensais ou de um determinado período, descobrindo a quanto conseguimos chegar no final.

Basicamente, entendendo os princípios da soma, é possível realizar qualquer tipo de conta de subtração. A exceção acontece no caso das contas em que o resultado entra no caráter negativo, o seja, abaixo de zero. Quando isso acontece, é preciso acompanhar o raciocínio de continuar diminuindo, mesmo que o número em questão acabe tão baixo que chegue a ficar com várias casas após a vírgula.

Também é importante lembrar que a subtração é uma das operações fundamentais e que, combinada com a soma, pode levar à resolução de absolutamente qualquer conta. Juntas, estas duas operações fundamentais também podem fundamentar se a resposta do problema apresentado também é verdadeiro ou não, ou seja, tirar a prova real.

c) Multiplicação – deixando uma soma mais rápida

Antes de mais nada, é preciso entender que a multiplicação é, embora uma das operações fundamentais, também uma forma de agilizar as contas de soma. Ela se encaixa exclusivamente nos casos de contas em que o objeto a se somar é o mesmo em várias razões, ou seja, em vez de somar “2+2+2+2+2+2”, basta multiplicar o número 2 quantas vezes ele aparecer, no caso 6. Isso é importante principalmente em casos de contas que seriam muito longas, deixando-as mais curtas como no caso abaixo:

14+14+14+14+14+14+15+15+15+15+15+15+16+16+16+16+16 é igual a:14×6 + 15×6 + 16×5

Por sua simplicidade, a multiplicação é uma operação fundamental principalmente para os casos de equações que precisam resolver rapidamente a junção de complexos números fundamentais.

d) Divisão – a subtração por igual

Fechando as quatro operações fundamentais da matemática, temos a divisão. Através dela, conseguimos subtrair de maneira igual números de acordo com os fatores estipulados. As contas de divisão estão em nossa vida nas mais variadas situações, tais como na divisão de uma conta de bar no final da noite, a delegação de responsabilidades em uma empresa, divisão dos valores no orçamento mensal e assim por diante.

Na prática, a divisão é a subtração simplificada entre partes iguais. Mas ela ajuda também a complementar as contas de outras operações fundamentais, e junto com elas, é capaz de resolver absolutamente todas as equações matemáticas que existem.


2. Expressões numéricas

Expressões numéricas são conjuntos de números que sofrem operações matemáticas com uma ordem de operações preestabelecida. Para que você aprenda a resolvê-las, primeiramente, destacaremos a prioridade que as operações matemáticas possuem.

a) Ordem das operações

As operações matemáticas estudadas no Ensino Fundamental são: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. A ordem em que elas devem ser resolvidas em uma expressão numérica é a seguinte:

→ Potenciação e radiciação

Em uma expressão numérica, sempre resolva primeiro as potências e raízes antes de qualquer outra operação matemática. A única exceção é para o caso em que aparecem colchetes, chaves ou parênteses. Vale ressaltar que, entre potências e raízes, não há prioridade.

→ Multiplicação e divisão

    Em segundo lugar, quando não houver mais potências ou raízes, devem ser feitas as multiplicações e divisões. Entre essas duas, também não há prioridade. Realize aquela que aparecer primeiro ou que facilitará os cálculos.

    → Adição e subtração

    Por último, realize as somas e diferenças. Também não há prioridade entre elas. Resolva-as na ordem em que aparecerem.

    b) Ordem entre colchetes, chaves e parênteses

    Em algumas expressões numéricas, uma parte da expressão pode ter prioridade em relação às outras. Essa parte deve ser separada com parênteses, chaves e/ou colchetes. A prioridade em que as operações devem ser feitas é a seguinte:

    → Parênteses

    Em primeiro lugar, devem ser feitas todas as operações que estiverem dentro dos parênteses. Se houver muitas operações, a ordem que deve ser seguida é a das operações, dada anteriormente.

    → Colchetes

    Em segundo lugar, as operações que estiverem dentro de colchetes deverão ser feitas também de acordo com a ordem das operações dada anteriormente.

    Lembre-se apenas de que os parênteses aparecem sozinhos ou dentro de colchetes. Nesse caso, quando sobrar apenas um número dentro dos parênteses, estes podem ser eliminados.

    → Chaves

    Por último, as operações dentro de chaves também devem ser realizadas de acordo com a ordem das operações.

    Exemplo:

    {15 + [(7 – 100:102) + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3

    Observe que existem dois parênteses dentro de colchetes. Qualquer um dos dois pode ser feito primeiro ou ambos podem ser realizados ao mesmo tempo, desde que não se misturem os cálculos para cada um. Faremos na ordem em que aparecem. Isso é o mais indicado a ser feito.

    Assim, para os primeiros parênteses, faremos a potência; depois, a divisão e, por fim, a subtração:

    {15 + [(7 – 100:102) + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3

    {15 + [(7 – 100:100) + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3

    {15 + [(7 – 1) + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3

    {15 + [(6) + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3

    Nesse caso, os parênteses podem ser eliminados.

    {15 + [6 + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3

    Agora os parênteses seguintes. Primeiro, a raiz quadrada; depois, divisão e subtração.

    {15 + [6 + (16:2 – 4)]2 + 10}·3

    {15 + [6 + (8 – 4)]2 + 10}·3

    {15 + [6 + (4)]2 + 10}·3

    {15 + [6 + 4]2 + 10}·3

    Note que, dentro dos colchetes, sobrou apenas uma adição. Depois de realizá-la, o número que sobrar deverá ser elevado ao quadrado. Assim, obteremos:

    {15 + [10]2 + 10}·3

    {15 + 100 + 10}·3

    Agora, falta apenas realizar os cálculos dentro das chaves e multiplicar o resultado por 3:

    {15 + 100 + 10}·3

    125·3

    375

    3. Símbolos Matemáticos

    O símbolos na matemática são como uma linguagem, criados à medida que essa área do conhecimento desenvolvia-se.

    Confira a seguir, uma lista com os nomes dos símbolos utilizados na Matemática, com seus respectivos significados e aplicações.

    OBS.: Não é necessário decorar todos os símbolos, pois você se familiarizará com eles ao longos dos seus estudos! Porém, não faz mal dar uma espiada no que está por vir:





    Fontes:

    Conteúdo relacionado
    Avalie esse material
    20
    Compartilhe
    Página carregada em 0.0077 segundos.