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MT MAT-BAS Matemática Básica
Frações e Dízimas periódicas

1. Frações

a) Conceito Inicial

Aprenda a utilizar a fração.    
Aprenda a utilizar a fração.

Fração é a representação da parte de um todo
 (de um ou mais inteiros), assim, podemos considerá-la como sendo mais uma representação de quantidade, ou seja, uma representação numérica, com ela podemos efetuar todas as operações como: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação.

Dessa forma, toda fração pode ser representada em uma reta numerada, por exemplo, 1/2 (um meio) significa que de um inteiro foi considerada apenas a sua metade, portanto, podemos dizer que em uma reta numerada a fração 1/2 estará entre os números inteiros 0 e 1.

Por ser uma forma diferente de representação numérica, a fração irá possui uma nomenclatura específica e poderá ser escrita em forma de porcentagem, números decimais (números com vírgula) e números mistos.

Assim, podemos concluir que o surgimento do número fracionário veio da necessidade de representar quantidades menores que inteiros, por exemplo, 1 bolo é um inteiro, mas se comermos um pedaço, qual seria a representação numérica que esse pedaço e o resto do bolo representaria? Foi a necessidade de criar uma representação numérica para as partes de um inteiro que proporcionou o surgimento dos números fracionários que iremos estudar nesta seção.

b) Classificação das frações

A classificação das frações distingue-as em três tipos: própria, imprópria e aparente.

Existem três tipos de frações: própria, imprópria e aparente
Existem três tipos de frações: própria, imprópria e aparente        

Quando precisamos representar numericamente uma parte de um todo, utilizamos as frações. A estrutura da fração é dada por:

a → numerador
b   denominador

O traço entre o a e o b significa divisão. O numerador sempre estará acima do denominador.

Todas as frações possuem a mesma estrutura, o que muda são os números que representam o numerador e o denominador. Veja a seguir alguns exemplos de representação de frações.

  • Pizza inteira: 

  • Duas pizzas inteiras: 

  • Ao longo de um dia, duas pessoas comeram 1 pizza e 3 pedaços:  

  • Dos seis pedaços de pizza, restaram 3:

       

Em todos os exemplos utilizamos a mesma pizza, mas em situações diferentes.

Obtivemos como resultado as seguintes frações: 

Observando os valores numéricos das frações, temos que:

  • Na primeira fração, o numerador e denominador possuem o mesmo número, pois queremos representar uma pizza inteira. A divisão 6 : 6 = 1, ou seja, 1 pizza.

  • Na segunda fração, o numerador é maior que o denominador e queremos representar duas pizzas, isto é, 12 : 6 = 2, ou seja, 2 pizzas.

  • Na terceira fração, o numerador é maior que o denominador, pois queremos representar 1 pizza mais três pedaços.

  • Na quarta fração, o numerador é menor que o denominador, pois queremos representar uma parte de um todo. A parte a ser representada são os três pedaços de pizza, e o todo são os seis pedaços.

Como vimos, cada tipo de fração possui sua especificidade. Por isso, é necessária uma forma de classificá-las. Assim, há três tipos de fração: própria, imprópria e aparente.

  • Fração própria: o numerado é menor que o denominador. Veja as frações a seguir:


Todas essas frações são próprias.

  • Fração imprópria: o numerador é maior do que o denominador. As seguintes frações são impróprias:


  • Fração aparente: São as frações em que o numerador é múltiplo do denominador. Lembre-se de que, se o numerador é múltiplo do denominador, então o denominador é divisor do numerador. Alguns exemplos de frações aparentes são:

  • é uma fração aparente. 12 é múltiplo de 6, visto que 12 : 6 = 2;

  •  é uma fração aparente. 6 é múltiplo de 6, visto que 6 : 6 = 1;

  •  é uma fração aparente. 30 é múltiplo de 6, visto que 30 : 6 = 5

    c) Frações equivalentes

        

    As frações equivalentes são diferentes possibilidades de frações que representam uma mesma quantidade. Por exemplo, se eu comprar uma pizza, dividi-la em 4 partes iguais e pegar apenas um pedaço, estarei com da  pizza. No entanto, se eu pegar a mesma pizza e dividi-la em 8 partes iguais e pegar dois pedaços, estarei com  da pizza.

    Na imagem a seguir, é possível perceber que em ambas as situações a quantidade de pizza consumida é a mesma. Nesse caso, significa que  é uma fração equivalente de .                                                            

    Como encontrar frações equivalentes?

    Para encontrar uma fração equivalente, basta multiplicar os numeradores e denominadores por algum número natural que seja diferente de zero. Mas, lembre-se, tudo que for feito no numerador deve ser igualmente feito no denominador. Veja alguns exemplos:

    a) Frações equivalentes de 



    b) Frações equivalentes de 



    Para tirar a prova se realmente a fração é equivalente à outra, basta fazer a simplificação (ou divisão) das frações, lembrando-se de seguir a regra de que tudo que for feito no numerador deve também ser feito no denominador. Por exemplo:

    Considerando as frações  e , qual delas seria a fração equivalente da  ?
                                                                                                      

    Nesse caso, ao dividir as frações por 5, tem-se:


    A fração equivalente de  é , pois, dividindo a fração por 5, encontramos o mesmo resultado.

    Exemplo:

    1) Ana e Vitória são duas amigas que adoram comer pizza. Ana pediu uma pizza de calabresa e Vitória uma pizza napolitana. Quando as pizzas chegaram, elas notaram que eram do mesmo tamanho, porém foram cortadas de forma diferente. A pizza de Ana tinha 5 pedaços e a de Vitória tinha 6 pedaços. Ana conseguiu comer 3 pedaços de sua pizza e Vitória comeu 4. Considerando as situações, qual das duas amigas comeu mais pizza?

    Resolução:

    Ao analisarmos as frações que foram consumidas, Ana comeu  e Vitória comeu . Para conseguir um comparativo sobre qual das duas comeu mais pizza, é necessário igualar os denominadores por meio das frações equivalentes.

    Começando por Ana, se a fração for multiplicada por 6 teremos:


    E no caso de Vitória, para encontrar o mesmo denominador 30, vamos encontrar a fração equivalente multiplicando tudo por 5, assim teremos:


    Comparando as duas frações, notamos que Vitória foi quem comeu mais pedaços de pizza.

    d) Fração mista e imprópria

    Fração própria é toda fração cujo numerador possui menor valor absoluto que o do seu denominador. A fração 3/7 é um exemplo de fração própria. Frações próprias representam apenas parte de um inteiro.



    As frações impróprias, no entanto possuem numerador com valor absoluto maior que o do seu denominador. A fração 7/3 é um exemplo de fração imprópria.

    A fração 7/3 representa mais que uma fração de um inteiro. Na verdade ela representa 2 inteiros e 1/3.

    Podemos dizer que 7/3    é equivalente a .

    A fração  (dois inteiros e um terço) é uma fração mista. Frações mistas possuem uma parte inteira que neste caso é igual a 2 e uma parte fracionária que neste caso é igual a 1/3.

    Conversão de Frações Impróprias em Frações Mistas

    O método para a realização de tal conversão é bastante simples. Dividimos o numerador pelo denominador. O resto da divisão será utilizado como o numerador da parte fracionária. O quociente será a parte inteira e o denominador será o mesmo da fração original.

    Vamos converter a fração 7/3 para um exemplo prático:

    Sabemos que o numerador da fração é o número 7 e que o seu denominador é o número 3.

    Ao dividirmos 7 por 3 iremos obter o quociente 2 que será a parte inteira da fração mista.

    O resto desta divisão é igual a 1, valor este que será o numerador da parte fracionária.

    O denominador da parte fracionária continuará a ser o número 3.

    Temos então que:


    E como ficaria a conversão da fração 6/3?

    Ao realizarmos a divisão de 6 por 3 percebemos que o resto é 0, já que 6 é múltiplo de 3. Neste caso a conversão ao invés de gerar uma fração mista, irá produzir apenas um número inteiro, o quociente da divisão que neste caso é 2.

    Frações cujo numerador sejam divisíveis pelo seu denominador são chamadas de frações aparentes, já que as mesmas podem ser expressas na forma de um simples número inteiro.

    Conversão de Frações Mistas em Frações Impróprias

    A realização desta conversão é mais simples ainda. Vamos converter a fração mista  de volta à fração imprópria :

    Primeiramente pegamos o 2 da parte inteira e o multiplicamos pelo 3 do denominador da fração, em seguida somamos este produto (6) ao numerador atual 1 para obtermos o novo numerador 7. O denominador da parte fracionária continuará a ser o número 3.

    Logo temos que:


    Exemplos Frações Impróprias e suas Frações Mistas Equivalentes

    Para uma melhor fixação do explicado neste tópico, observe a frações abaixo e faça as conversões nos dois sentidos.


    2. Operações com Fração

    a) Adição e subtração de frações

    As frações representam as partes de um todo. A partir delas podem ser feitas operações de adição, subtração, multiplicação e divisão.

    A Adição e Subtração de Frações é feita somando-se ou subtraindo-se os numeradores, conforme a operação. Quanto aos denominadores, desde que sejam iguais, mantêm a mesma base.

    Lembre-se que nas frações, o termo superior é o numerador e o termo inferior é o denominador.

    Exemplos:

    Adição e Subtração de Frações

    Adição e Subtração de Frações

    E quando os denominadores são diferentes?

    Quando os denominadores são diferentes é preciso igualá-los. Isto é feito a partir do mínimo múltiplo comum (MMC), que nada mais é do que o menor número capaz de dividir outro número.

    Exemplo 1:

    Adição e Subtração de Frações

    O MMC é 280 por quê?

    Adição e Subtração de Frações

    Após encontrar o MMC de 7, 8 e 5, temos de o dividir pelo denominador e multiplicar pelo numerador. Assim: 280 /7 = 40 e 40*32 = 1280. Por sua vez, 280 /8 = 35 e 35*19 = 665, bem como 280/5 = 56 e 56*23 = 1288.

    Adição e Subtração de Frações

    Exemplo 2:

    Adição e Subtração de Frações

    O MMC é 18 por quê?

    Adição e Subtração de Frações

    Após encontrar o MMC de 9 e 2, temos de o dividir pelo denominador e multiplicar pelo numerador. Assim: 18/9 = 2 e 2*25 = 50. Por sua vez, 18/2 = 9 e 9*20 = 180, bem como 18/2 =9 e 9*42 = 378

    Adição e Subtração de Frações

    Neste último exemplo, simplificamos a fração, o que significa que a reduzimos pelo seu divisor comum. Assim, tornamos a fração mais simples dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número: 248/2 = 124 e 18/2 = 9.

    b) Multiplicação de frações

    multiplicação de frações é bem mais simples que a adição. Basta multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador.

    Por exemplo:


    c) Divisão de frações

    Para dividir duas frações, basta multiplicar a primeira pelo inverso da segunda. Observe o exemplo:




    3. Dizimas Periódicas

    Dízimas periódicas são números decimais em que, a partir de alguma casa decimal, um algarismo ou grupo de algarismos passa a se repetir infinitamente. Por exemplo: 0,33333…

    Números racionais: inteiros, decimais finitos e dízimas periódicas 
        Números racionais: inteiros, decimais finitos e dízimas periódicas

    Números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma de fração. Lembrando que frações são divisões entre números inteiros com o denominador diferente de zero. Os números que podem ser escritos na forma de fração são: os próprios números inteiros, os decimais finitos e as dízimas periódicas.

    As dízimas periódicas são decimais infinitos que, a partir de alguma casa após a vírgula, passam a repetir determinada sequência de algarismos de forma infinita. Essa repetição é indicada por reticências, como mostram os exemplos a seguir:

    2,666666…

    13,454545…

    12,3210652652652…

    No primeiro caso, note que apenas um algarismo repete-se após a vírgula. No segundo, há a repetição de dois algarismos. Já no terceiro existem quatro algarismos quaisquer antes de se iniciar a repetição de três algarismos.

    período de uma dízima periódica é formado pelos algarismos que se repetem nela. Portanto, na dízima 23,5656565…, o período é 56. Quando a dízima possui alguns algarismos antes do período, esses algarismos são chamados de antiperíodo. Por exemplo, na dízima 12,321559559…, o período é 559, e o antiperíodo é 321.

    Toda dízima periódica é um número racional e, por isso, pode ser escrita na forma de fração. A fração que representa uma dízima periódica é chamada de fração geratriz, e existem alguns métodos para encontrá-la. A seguir, discutiremos o método prático para determinar dízimas simples e compostas. 

    a) Dízima periódica simples

    É qualquer dízima periódica que não possui antiperíodo. Para escrevê-la na forma de fração, basta seguir o passo a passo:

    1 – Escreva a dízima como uma soma de sua parte inteira com sua parte decimal;

    2 – Da parte decimal, determine o número de algarismos do período;

    3 – Escreva a fração na qual o numerador é o período e o denominador possui todos os algarismos iguais a 9 (a quantidade de algarismos 9 é exatamente a mesma quantidade de elementos do período);

    4 – Some a esse resultado a parte inteira da dízima inicial, deixando a solução final na forma de fração.

    Por exemplo: 25,333333…

    O período é 3, a parte inteira é 25, e a parte decimal é 0,3333… Logo:

    25 + 0,33333…

    25 + 3
            9

    225 + 3
      9      9

    228
    9

    b) Dízima periódica composta

    É aquela que possui um antiperíodo. Para escrevê-la em forma de fração pelo método prático, basta seguir o passo a passo:

    1 – Escreva a dízima como uma soma da parte inteira com a parte decimal;

    2 – Da parte decimal, determine a quantidade de algarismos do período e do antiperído;

    3 – O numerador da fração geratriz é composto pela diferença entre o número formado pelos algarismos do antiperíodo seguidos dos algarismos do período e o número formado pelos algarismos do antiperíodo;

    4 – O denominador será formado pelos algarismos 9 e 0. A quantidade de 9 é igual à quantidade de elementos do período. A quantidade de 0 é igual à quantidade de algarismos do antiperíodo;

    5 – Some a fração obtida com a parte inteira da dízima.

    Exemplo: 2,12321321321…

    2 + 0,12321321321…

    2 + 12321 – 12
            99900

    2 + 12309
         99900

    199800 + 12309
    99900

    212109
    99900

    c) Fração Geratriz

    A fração geratriz, quando representada na forma decimal, produz dízimas periódicas simples ou compostas. Portanto, toda dízima periódica (número decimal) deve possuir uma forma fracionária, por isso demonstraremos como transformar números decimais em frações geratrizes. Primeiro vamos observar alguns exemplos de números racionais com períodos: 


    0,33333333... , período 3 (um algarismo) 
    0,23232323..., período 23 (dois algarismos) 
    0,562562562..., período 562 (três algarismos) 

    Para encontrarmos a fração geratriz seguimos os seguintes passos. 

    1º passo – relacionar a dízima periódica com uma incógnita 

    x = 0,333333... 

    2º passo – multiplicar os dois lados da igualdade por um múltiplo de 10, de acordo com a quantidade de algarismos do período, por exemplo: 

    um algarismo, multiplicar por 10 
    dois algarismos, multiplicar por 100 
    três algarismos, multiplicar por 1000, e assim sucessivamente. 

    x = 0,333333 ... * 10 
    10x = 3,3333 ... 

    3º passo – subtrair a segunda igualdade da primeira igualdade 

    10x = 3,3333 
    – x = 0,3333 
    9x = 3 
    9x = 3 
    x = 3/9

    Fontes:

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