Planejativo

Frações e Dízimas periódicas

As quatro operações e Expressões numéricas

Raciocínio lógico

Potenciação

Radiciação e Racionalização de denominadores

Produtos notáveis e Fatoração

Sistemas de numeração e Sistema métrico

Equações e Sistemas do primeiro grau

Equações do segundo grau e Equações biquadradas

Critérios de divisibilidade e Números primos

MMC e MDC

Razão e proporção

Regras de 3 e Escalas

Porcentagem

Lucro e Juros simples

Notação científica

Juros compostos

Alguns pontos-chave dessa matéria para o ENEM que devem ser levados em conta ao estudarmos são:

Frações são representações numéricas que indicam uma parte de um todo dividido em partes iguais. Elas são muito utilizadas em diversas situações do cotidiano e em áreas como matemática, física, química e outras ciências. Por exemplo, na pizza acima, podemos ver que um quinto dela está na mão de alguém. Fonte: 

Imagine que você tem um bolo inteiro na sua frente, e precisa dividir esse bolo em pedaços iguais para dividir com seus amigos. Digamos que você decida cortá-lo em 4 partes iguais. Cada uma dessas partes seria uma fração do bolo inteiro. Como cada parte é igual, cada fração teria o numerador igual a 1, e o denominador igual a 4. Então, cada fração seria representada por 1/4.

Numerador e denominador são as partes que compõem uma fração. O numerador representa a quantidade de partes que estamos considerando, enquanto o denominador representa a quantidade total de partes em que o inteiro foi dividido. Fonte: 

Em outras palavras, uma fração é uma representação numérica que indica a divisão de um inteiro em partes iguais. O numerador indica quantas partes estamos considerando e o denominador indica em quantas partes o inteiro foi dividido. Então, no exemplo do bolo, a fração 1/4 indica que estamos considerando uma das quatro partes iguais em que o bolo foi dividido.

As frações podem ser usadas em várias situações do dia a dia. Por exemplo, quando você precisa medir quantidades menores do que um inteiro. Imagine que você precisa medir 1/2 xícara de açúcar para fazer uma receita de bolo. Isso significa que você precisa de metade de uma xícara inteira de açúcar.

O famoso "meia xícara de açúcar" representa uma fração muito usada no meio culinário. Fonte: 

Outra aplicação das frações é em situações que envolvem dinheiro. Por exemplo, imagine que você ganhou R$ 10,00 e quer gastar metade do dinheiro em uma sobremesa. Isso significa que você vai gastar R$ 5,00, que é a metade do dinheiro que você tem.

As frações também são importantes na matemática porque podem ser utilizadas em operações matemáticas como adição, subtração, multiplicação e divisão. Por exemplo, se você precisa calcular quanto é 1/2 do valor de R$ 40,00, você pode multiplicar R$ 40,00 por 1/2 para obter a resposta correta (que é R$ 20,00).

Em resumo, as frações são uma forma de representar quantidades menores do que um inteiro e são úteis em várias situações do dia a dia, como receitas, dinheiro e matemática. É importante entender como funcionam as frações e como usá-las corretamente para poder aplicá-las em diversas situações.

a) Diferentes representações de fração e leitura de frações

Diferentes formas de representar a mesma fração. Fonte: 

As frações podem ser representadas de duas formas: pelo símbolo da barra (/) ou pelo sinal de divisão (:). A representação pelo símbolo da barra é mais comum e mais utilizada em contextos informais, como na internet, enquanto a representação pelo sinal de divisão é mais comum em contextos formais, como em livros, artigos e documentos oficiais.

Por exemplo, a fração 3/4 pode ser representada também como 3:4, que significa "três dividido por quatro". É importante lembrar que, na matemática, a barra não representa uma operação de divisão, mas sim uma separação entre o numerador e o denominador da fração.

Independente da forma de representação escolhida, é importante compreender o significado dos termos numerador e denominador, que são os elementos fundamentais das frações. O numerador representa a quantidade de partes consideradas, enquanto o denominador representa o número total de partes que compõem o inteiro.

É possível também representar frações na forma de números decimais ou porcentagens, que são formas mais comuns e práticas de representação em alguns contextos, como em cálculos financeiros ou estatísticos. No entanto, é importante lembrar que a representação decimal ou porcentual de uma fração pode ser limitada ou arredondada, o que pode levar a uma perda de precisão nas informações que ela representa.

A leitura de frações pode apresentar nomes especiais quando o denominador é menor que 10 ou quando é um múltiplo de 10, 100, 1000, 10000, etc. Cada nome é referente à parte que a fração representa, como meio, terço, quarto, quinto, sexto, sétimo, oitavo, nono, décimo, centésimo, milésimo, décimo de milésimo. Ao ler uma fração, o numerador é lido primeiro, seguido do nome correspondente ao denominador. Em frações com denominadores maiores que 10, 100, 1000, 10000, etc, o numerador é lido primeiro, seguido do denominador e, finalmente, a palavra "avos".

b) Frações próprias, impróprias e aparentes

Frações próprias, impróprias e aparentes são classificações de frações de acordo com a relação entre o numerador e o denominador.

Frações próprias são aquelas em que o numerador é menor do que o denominador. Por exemplo, 2/5 é uma fração própria, pois o numerador 2 é menor do que o denominador 5. Essas frações representam quantidades menores do que um inteiro.

Frações impróprias são aquelas em que o numerador é maior ou igual ao denominador. Por exemplo, 7/4 é uma fração imprópria, pois o numerador 7 é maior do que o denominador 4. Essas frações representam quantidades maiores do que um inteiro.

Frações aparentes são aquelas em que o numerador é múltiplo do denominador, gerando um número inteiro e uma parte fracionária igual a zero. Por exemplo, 12/4 é uma fração aparente, pois o numerador 12 é igual a 3 vezes o denominador 4, gerando o número inteiro 3. Essas frações também representam quantidades maiores do que um inteiro.

É importante conhecer essas classificações para poder trabalhar com frações e operá-las corretamente. Por exemplo, a soma ou subtração de frações com denominadores diferentes requer que sejam convertidas em frações equivalentes com o mesmo denominador. Frações próprias e impróprias também requerem tratamento diferente em algumas operações.

As frações equivalentes representam a mesma quantidade de diferentes formas. Fonte: 

Frações equivalentes são frações que representam a mesma quantidade, mas que possuem diferentes representações numéricas. Elas são obtidas ao multiplicar ou dividir o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número diferente de zero. .

Por exemplo, as frações 2/4, 4/8 e 6/12 são equivalentes, pois representam a mesma quantidade, que é a metade de um inteiro. Para obter cada uma delas a partir da primeira, basta multiplicar o numerador e o denominador por 2 para obter a segunda fração e por 3 para obter a terceira.

As frações equivalentes são importantes pois permitem representar a mesma quantidade de diferentes formas, facilitando a comparação e a operação entre frações. Por exemplo, ao somar ou subtrair frações com denominadores diferentes, é necessário encontrar frações equivalentes com o mesmo denominador para poder realizar a operação.

d) Frações unitárias, décimas e ordinais

Os dias de um calendário podem ser representados por uma fração ordinal. Caso o calendário acima fosse referente à janeiro, ele seria o dia 15 / 365. Fonte: 

As frações unitárias são frações cujo numerador é 1. Exemplos de frações unitárias são: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, etc.

As frações décimas são frações cujo denominador é 10, ou seja, são frações que representam um décimo de uma unidade. Exemplos de frações décimas são: 3/10, 7/10, 1/10, etc.

As frações ordinais são frações que indicam a posição de um número em relação a outros números em uma sequência. Por exemplo, em uma corrida de dez competidores, o primeiro colocado tem a posição 1/10, o segundo colocado tem a posição 2/10 (ou 1/5), o terceiro colocado tem a posição 3/10, e assim por diante. Outro exemplo é em um calendário: 1/365 representa o primeiro dia do ano, 31/365 representa o trigésimo primeiro dia do ano (ou o dia 31 de janeiro).

e) Frações Irredutíveis e simplificações

Exemplo de simplificação de uma fração em uma fração irredutível. Fonte: 

Frações irredutíveis são aquelas que não podem mais ser simplificadas, ou seja, o numerador e o denominador não possuem um divisor em comum além do número 1. Por exemplo, a fração 2/5 é irredutível, já que os únicos divisores de 2 e 5 são 1 e eles não possuem outros em comum.

Por outro lado, simplificar uma fração é reduzi-la a uma fração equivalente irredutível, dividindo tanto o numerador quanto o denominador por um mesmo número. Por exemplo, a fração 8/12 pode ser simplificada dividindo ambos os termos por 4, resultando em 2/3.

É importante lembrar que, ao simplificar uma fração, o valor numérico não se altera, apenas a forma de representação da fração. Portanto, 2/4 e 1/2, por exemplo, representam a mesma quantidade.

Frações mistas podem ser equivalentes a outros tipso de frações. Fonte: 

Frações mistas são frações que possuem uma parte inteira e uma parte fracionária. Em outras palavras, elas são compostas por um número inteiro seguido de uma fração própria. Por exemplo, a fração mista 3 

Uma forma de escrever uma fração mista é através da soma de uma fração própria com um número inteiro. Por exemplo, a fração mista 3 

 pode ser escrita como a soma 3 + 1/2. Outra forma é escrevê-la como uma fração imprópria, onde o numerador é a soma do produto do número inteiro pelo denominador da fração própria, mais o numerador da fração própria, e o denominador é o mesmo da fração própria. Usando o mesmo exemplo anterior, a fração mista 3 

 pode ser escrita como a fração imprópria 7/2.

. Elas são úteis para representar quantidades mistas que envolvem números inteiros e frações, como horas e minutos ou a combinação de uma parte inteira e uma parte fracionária de um objeto.

É possível transformar uma fração imprópria em uma mista dividindo a fração pelo denominador, onde a parte inteira do resultado é o quociente, o resto é o numerador e o denominador permanece o mesmo.

Por outro lado, para transformar uma fração mista em uma imprópria, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar ao numerador.

Vemos um overview das possíveis operações com frações. Fonte: 

As frações são uma forma de representação numérica que nos permite trabalhar com quantidades menores que o número inteiro. Em matemática, as operações com frações são muito importantes e fazem parte do cotidiano, desde situações simples como dividir uma pizza com amigos até cálculos mais complexos em áreas como engenharia e física. Para realizar essas operações com frações, é importante entender alguns conceitos fundamentais como o numerador, denominador, frações equivalentes e simplificação. Além disso, é necessário saber como realizar operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com frações, sempre respeitando as regras matemáticas para garantir resultados precisos.

Se as frações possuem o mesmo denominador, é possível realizar a soma ou subtração apenas dos numeradores, como demonstrado nos exemplos a seguir.

Por outro lado, se as frações possuem denominadores diferentes, é necessário utilizar o método do MMC (mínimo múltiplo comum) para igualá-los e, então, realizar as operações com os numeradores.

Multiplique o denominador pelo denominador (3 x 2). Multiplique em cruzado o numerador de uma fração pelo denominador de outra fração (9 x 3 e 5 x 3). Agora você terá o equivalente 6 no denominador e 18 - 15 no numerador. Realize as operações restantes e você terá o resultado!

Para calcular o resultado da multiplicação de duas frações, é necessário multiplicar o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda fração, e o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda fração, como mostrado a seguir:

Para dividir frações, é necessário manter a primeira fração e multiplicá-la pelo inverso da segunda fração, no modelo visto abaixo:

Dízimas periódicas são aquelas que possuem um ou mais algarismos que se repetem infinitamente após a vírgula. Já as dízimas não periódicas são aquelas que possuem uma sequência infinita e não repetitiva de algarismos após a vírgula. Fonte: 

Os números racionais são aqueles que podem ser representados na forma de fração, ou seja, são números que possuem uma quantidade finita ou infinita de algarismos após a vírgula. As dízimas são um tipo de número racional que possuem uma quantidade infinita de algarismos após a vírgula. Elas podem ser divididas em dois tipos: dízimas não periódicas e dízimas periódicas.

O π é um exemplo de dizima não periódica. Fonte: 

As dízimas não periódicas são aquelas que não possuem uma sequência de algarismos que se repetem indefinidamente após a vírgula. Por exemplo, o número 0,134278942... é uma dízima não periódica, pois não há um padrão de algarismos que se repete continuamente após a vírgula. Outro exemplo é o número π (pi), que possui uma quantidade infinita e não periódica de algarismos após a vírgula.

Já as dízimas periódicas são aquelas que possuem uma sequência de algarismos que se repetem indefinidamente após a vírgula. Essa repetição pode começar a partir de qualquer posição após a vírgula. Por exemplo, o número 0,33333... é uma dízima periódica, pois o algarismo 3 se repete indefinidamente. O número 0,64141414... também é uma dízima periódica, pois o padrão "41" se repete continuamente após a vírgula.