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MT MAT-BAS Matemática Básica
Raciocínio lógico

1. Lógica Matemática

lógica matemática analisa determinada proposição buscando identificar se representa uma afirmação verdadeira ou falsa.

A princípio, a lógica era ligada à filosofia, tendo sido iniciada por Aristóteles (384-322 a.C.) que se baseava na teoria do silogismo, ou seja, em argumentações válidas.

A lógica só passou a ser uma área da Matemática a partir dos trabalhos de George Boole (1815-1864) e Augustus de Morgan (1806-1871), quando eles apresentaram os fundamentos da lógica algébrica.

Essa mudança de paradigma tornou a lógica matemática uma importante ferramenta para a programação de computadores.

a) Proposições

As proposições são palavras ou símbolos que expressam um pensamento com um sentido completo e indicam afirmações de fatos ou de ideias.

Essas afirmações assumem valores lógicos que podem ser verdadeiros ou falsos e para representar uma proposição usualmente utilizamos as letras p e q.

São exemplos as proposições:

  • O Brasil está localizado na América do Sul. (proposição verdadeira).
  • A Terra é um dos planetas do sistema solar. (proposição verdadeira).
  • 1 meio igual a 0 vírgula 5.(proposição verdadeira).
  • A Terra é plana. (proposição falsa).
  • raiz quadrada de 2 igual a 1. (proposição falsa)

Considerando a lógica matemática, uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa. Além disso, não existe a possibilidade de uma terceira situação diferente de verdadeiro ou falso.

As proposições podem ser simples, quando apresentam apenas uma sentença, e compostas quando são formadas pela combinação de duas ou mais proposições simples.

"O céu é azul" é um exemplo de proposição simples, já a sentença "O céu é azul e as nuvens são brancas" é um exemplo de proposição composta.

b) Conectivos

As proposições simples que formam uma proposição composta são ligadas por elementos que são chamados de conectivos. Além disso, também podemos utilizar conectivos para modificar uma proposição.

Na proposição "O céu é azul e as nuvens são brancas" o elemento e é um conectivo que une duas proposições, já na proposição "O céu não é azul" o conectivo não modifica a proposição.

c) Tabela Verdade

Quando temos proposições compostas, os valores lógicos resultantes dependem única e exclusivamente dos valores de cada proposição simples.

Diante disso, utilizamos um dispositivo chamado tabela verdade ou tabela de verdade, onde são colocados os valores de cada proposição e de acordo com os conectivos presentes chegamos ao valor lógico final.

Em uma tabela verdade, o número de linhas e de colunas dependerá da quantidade de proposições simples que formam a proposição composta, sendo que em cada coluna é colocada uma proposição.

Abaixo apresentamos a tabela verdade para duas, três e quatro proposições:

Tabela Verdade

d) Operações Lógicas

As operações feitas a partir de proposições são chamadas de operações lógicas. Este tipo de operação segue as regras do chamado cálculo proposicional.

As operações lógicas fundamentais são: negação, conjunção, disjunção, condicional e bicondicional.

Negação

Esta operação representa o valor lógico oposto de uma dada proposição. Desta forma, quando uma proposição é verdadeira, a não proposição será falsa.

Com o objetivo de indicar a negação de uma proposição colocamos o símbolo ~ na frente da letra que representa a proposição, assim, ~p significa a negação de p.

Exemplo

p: Minha filha estuda muito.
~p: Minha filha não estuda muito.

Como o valor lógico da não proposição é o inverso da proposição, teremos a seguinte tabela verdade:

Lógica negação

Conjunção

A conjunção é utilizada quando entre as proposições existe o conectivo e. Esta operação será verdadeira quando todas as proposições forem verdadeiras.

O símbolo utilizado para representar essa operação é o ^, colocado entre as proposições. Desta forma, quando temos p ^ q, significa "p e q".

Desta forma, a tabela verdade desse operador lógico será:

Lógica conjunção

Exemplo:

Sendo p: 3 + 4 = 7 e q: 2 + 12 = 10 qual o valor lógico de p ^ q?

Solução

A primeira proposição é verdadeira, mas a segunda é falsa. Portanto, o valor lógico de p e q será falso, pois esse operador só será verdadeiro quando ambas as sentenças forem verdadeiras.

Disjunção

Nesta operação, o resultado será verdadeiro quando pelo menos uma das proposições é verdadeira. Sendo assim, será falso apenas quando todas as proposições forem falsas.

A disjunção é usada quando entre as proposições existe o conectivo ou e para representar esta operação é usado o símbolo entre as proposições, assim, p v q significa "p ou q".

Levando em consideração que se uma das proposições for verdadeira o resultado será verdadeiro, temos a seguinte tabela verdade:

Lógica disjunção

Condicional

A condicional é a operação realizada quando na proposição utiliza-se o conectivo se... então.... Para representar esse operador usamos o símbolo →. Assim, p → q significa "se p, então q".

O resultado desta operação só será falso quando a primeira proposição for verdadeira e a consequente for falsa.

É importante ressaltar que uma operação condicional não significa que uma proposição é a consequência da outra, o que estamos tratando é apenas de relações entre valores lógicos.

Exemplo

Qual o resultado da proposição "Se um dia tem 20 horas, então um ano tem 365 dias"?

Solução

Sabemos que um dia não tem 20 horas, logo essa proposição é falsa, também sabemos que um ano tem 365 dias, logo essa proposição é verdadeira.

Desta forma, o resultado será verdadeiro, pois o operador condicional só será falso quando a primeira for verdadeira e a segunda falsa, que não é o caso.

A tabela verdade para esse operador será:

Lógica condicional

Bicondicional

O operador bicondicional é representado pelo símbolo seta para a esquerda e para a direitae indica uma proposição do tipo ...se e somente se.... Portanto, p seta para a esquerda e para a direita q significa "p se e somente se q", ou seja, p é condição necessária e suficiente para q.

Ao usar esse operador, a sentença será verdadeira quando as proposições forem ambas verdadeiras ou ambas falsas.

Os possíveis resultados que podemos encontrar ao usar esse operador estão na tabela abaixo:

Lógica bidirecional

Exemplo

Qual o resultado da proposição "30 = 2 se somente se 2 + 5 = 3"?

Solução

A primeira igualdade é falsa, pois 30 = 1 e a segunda também é falsa (2 + 5 = 7), desta maneira, como ambas são falsas, então, o valor lógico da proposição é verdadeiro.


2. Silogismo

O silogismo determina um argumento ou um raciocínio dedutivo, o qual é formado por três proposições que estão interligadas.

Na filosofia, o silogismo é uma doutrina pertencente à lógica aristotélica e que está baseada na dedução.

Aristóteles (384 a.C.-322 a.C.) utilizou esse método nos estudos da argumentação lógica.

A teoria do silogismo foi apresentada por ele na sua obra “Analytica Priora” (Primeiros Analíticos).

Você Sabia?

Do grego, o termo silogismo (syllogismos) significa “conclusão” ou “inferência”.

Exemplos de Silogismo

Exemplo 1:

Todo homem é mortal.
Sócrates é homem.
Sócrates é mortal.

Exemplo 2:

Todo brasileiro é sul-americano.
Todo nordestino é brasileiro.
Logo, todo nordestino é sul-americano.

Exemplo 3:

Todo político é mentiroso.
José é político.
Logo, José é mentiroso.

a) Composição do Silogismo Aristotélico

A primeira e a segunda proposições são chamadas de premissas e a última é a conclusão:

  • Premissa Maior (P1): declaratória, donde todo M é P.
  • Premissa Menor (P2): indicativa, donde S é M.
  • Conclusão: a união das duas primeiras premissas, é possível deduzir a terceira proposição, donde S é P.

Termos do Silogismo

O silogismo é constituído de três termos:

  • Termo Maior: também chamado de extremo maior, ele surge na premissa maior, sendo o termo predicado da conclusão. É representado por P.
  • Termo Menor: também chamado de extremo menor, ele surge na premissa menor, sendo o termo sujeito da conclusão. É representado por S.
  • Termo Médio: ele aparece em ambas as premissas, entretanto, não aparece na conclusão. É representado por M.

Falso Silogismo

A falácia é considerada um “falso silogismo” uma vez que ela é inválida na construção de silogismo categóricos.

Sendo assim, a falácia trata-se de um argumento enganoso, uma ideia equivocada ou uma crença falsa.

Exemplo:

Todos os cisnes não são negros.
Alguns pássaros são cisnes.
Logo, todos os pássaros não são negros.

Para que as proposições acima sejam consideradas um silogismo, a conclusão deveria ser: Alguns pássaros não são negros.

Isso porque a conclusão do silogismo sempre segue a premissa negativa ou particular, e nesse caso, “alguns”.

b) Regras para Construção do Silogismo

Devemos ter em conta que existem algumas regras para a construção do silogismo categórico, ou seja, para que eles sejam válidos e não caiam no problema da falácia.

Em relação aos termos do silogismo temos:

1. Os três termos (maior, menor e médio) utilizados para a construção de um silogismo devem ter o mesmo sentido:

Todo leão é um mamífero.
Algumas pessoas são de leão.
Logo, algumas pessoas são mamíferos.

Nesse caso, o termo “leão” foi utilizado em dois sentidos: o animal e o signo. Não é válido esse silogismo pois contém quatro termos: leão (animal); leão (signo); mamíferos e pessoas.

2. Na conclusão de um silogismo, o termo médio não aparece, somente o termo maior e o menor:

Nenhum canídeo é felino.
Todo canídeo é carnívoro.
Logo, este canídeo não é carnívoro felino.

Assim, o exemplo acima não é um silogismo e sim uma falácia formal.

3. Em toda sua extensão, o termo médio deve aparecer pelo menos uma vez:

Todas as frutas são vegetais.
Todas as verduras são vegetais.
Logo, todas as verduras são frutas.

Nesse caso de falácia formal, temos que os vegetais (como fruta ou verduras) são uma parte da extensão total dos vegetais.

4. Na conclusão do silogismo, os termos maior e menor não podem surgir com uma extensão maior que nas premissas:

Todo ato violento é condenável.
Muitos seres humanos cometem atos violentos.
Logo, todos os seres humanos são condenáveis.

Nesse caso, a conclusão do silogismo deveria ser: Muitos seres humanos são condenáveis.

Em relação as proposições do silogismo, temos:

5. Quando um silogismo apresenta duas premissas afirmativas, a conclusão deverá ser afirmativa também:

Todos os felinos são mamíferos.
Todos os mamíferos são vertebrados.
Logo, alguns vertebrados não são felinos.

Nesse exemplo, a conclusão do silogismo deveria ser: Alguns vertebrados são felinos.

6. Quando um silogismo apresenta duas premissas negativas, não se pode concluir nada:

Nenhuma mãe é insensível.
Algumas mulheres não são mães.
Logo, algumas mulheres são insensíveis.

Nesse caso de falácia formal, tem-se uma conclusão injustificada e portanto não é um silogismo.

7. Quando um silogismo apresenta duas premissas particulares não é possível concluir nada:

Alguns vendedores não são honestos.
Alguns brasileiros são vendedores.
Logo, alguns brasileiros não são honestos.

Temos acima um exemplo que viola a regra de silogismo, a partir de uma prova inconclusiva.

8. A conclusão de um silogismo sempre seguirá a parte mais fraca, ou seja, a premissa negativa e/ou particular:

Todos os gatos não são brancos.
Alguns felinos são gatos.
Logo, todos os felinos não são brancos.

No exemplo acima, a conclusão do silogismo deveria ser: Alguns felinos não são brancos.

c) Tipos de Silogismo

Segundo o Silogismo Aristotélico, há dois tipos de silogismo:

  • Silogismo Dialético: baseado em juízos hipotéticos ou incertos. Nesse caso, o silogismo é usado nos estudos da retórica e da persuasão e refere-se as opiniões.
  • Silogismo Científico: baseado em argumentos científicos, os quais contêm o valor de verdade seja nas premissas e nas conclusões.

Silogismo Jurídico

Na área do direito, o silogismo é utilizado como ferramenta para conclusão de fatos. Esse tipo de silogismo é classificado em:

  • Apresentação da premissa maior
  • Apresentação dos fatos
  • Conclusão pela legislação

Exemplo de silogismo jurídico:

Matar alguém é crime e o assassino deve ser punido.
Joana matou alguém.
Logo, Joana deve ser punida.


3. Método Dedutivo

O método dedutivo, raciocínio dedutivo ou dedução é um conceito utilizado em diversas áreas e que está relacionado com as distintas formas de raciocinar.

É um processo de análise de informação que nos leva a uma conclusão. Dessa maneira, usa-se da dedução para encontrar o resultado final.

O método dedutivo já era utilizado na antiguidade. O filósofo grego Aristóteles contribuiu para sua definição por meio do que ficou conhecido como lógica aristotélica, que por sua vez, está pautada na doutrina do silogismo.

Isso porque desde de Aristóteles, são encontradas condições necessárias para as proposições verdadeiras, para que, por fim, obtenham-se conclusões verdadeiras.

Esse método geralmente é usado para testar hipóteses já existentes, chamadas de axiomas, para assim, provar teorias, denominadas de teoremas. Por isso, ele é também denominado de método hipotético-dedutivo.

Vale observar que o método dedutivo é utilizado na filosofia, nas leis científicas e na educação. Nós utilizamos esse tipo de raciocínio na resolução de problemas, por exemplo, de física e matemática.

Quando o professor demostra um problema na lousa, ele está utilizando o método dedutivo. Isso porque ele parte de uma proposição universal, e através do raciocínio lógico, chega numa conclusão válida.

Sendo assim, nesse tipo de raciocínio lógico, chega-se a uma conclusão a partir das premissas. Assim, o método indutivo é considerado “restrito ou pouco amplo”, pois ele não acrescenta informação nova na conclusão, uma vez que ela surge pelo que já estava implícito nas premissas.

Exemplo

Para compreender melhor a aplicação desse método, vamos analisar o exemplo abaixo:

Premissa 1: Os suspeitos do crime estavam na sala entre as 13 e 14 horas.
Premissa 2: João não estava na sala entre as 13 e 14 horas.
Conclusão: Logo, João não é um dos suspeitos do crime.

a) Método Dedutivo e Indutivo

Tanto o método dedutivo quanto o indutivo, são dois tipos de raciocínios utilizados para analisar se uma informação é válida ou não.

Assim, por meio de premissas e proposições, é analisado se existe uma conclusão válida para o que foi afirmado. Isso tudo, se as premissas forem verdadeiras.

  • Método dedutivo: esse argumento é feito do maior para o menor, ou seja, de uma premissa geral em direção a outra, particular ou singular. As conclusões encontradas nesse método já estavam nas premissas analisadas anteriormente e, portanto, ele não produz conhecimentos novos.
  • Método indutivo: esse raciocínio vai do menor ao maior ou de uma premissa singular ou particular para outra, geral. Diferente do método dedutivo, onde a conclusão está implícita nas premissas, aqui, sua conclusão vai além desses enunciados. Assim, o método indutivo é mais amplo sendo muito utilizado nas ciências.

Fontes:

Toda Matéria - Método dedutivo
Toda Matéria - Silogismo
Toda Matéria - Lógica matemática

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