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MT MAT-BAS Matemática Básica
Potenciação

Potenciação

potenciação ou exponenciação é a operação matemática que representa a multiplicação de fatores iguais. Ou seja, usamos a potenciação quando um número é multiplicado por ele mesmo várias vezes.

Para escrever um número na forma de potenciação usamos a seguinte notação:

potenciação

Sendo a ≠ 0, temos:

a: Base (número que está sendo multiplicado por ele mesmo)
n: Expoente (número de vezes que o número é multiplicado)

Para melhor entender a potenciação, no caso do número 23 (dois elevado a terceira potência ou dois elevado ao cubo), tem-se:

23 = 2 x 2 x 2 = 4 x 2 = 8

Sendo,

2: Base
3: Expoente
8: Potência (resultado do produto)

Exemplos de Potenciação

52: lê-se 5 elevado à segunda potência ou 5 ao quadrado, donde:

5 x 5 = 25

Logo,

A expressão 5equivale a 25.

33: lê-se 3 elevado à terceira potência ou 3 ao cubo, donde:

3 x 3 x 3 = 27

Logo,

A expressão 3equivale a 27.

a) Propriedades das potências  

As propriedades das potências são aplicadas no estudo de potenciação de números reais. Essas propriedades são técnicas desenvolvidas com o objetivo de facilitar as operações entre os números que possuem expoentes, sendo muito úteis nas áreas de estudos da Física, Química e Biologia, além de serem também aplicadas constantemente no trabalho com notações científicas.

Existem várias propriedades aplicadas quando temos divisão ou multiplicação de potências de mesma base e potência de potência. Também há casos particulares estudados, como as potências de expoente um, expoente zero e expoente fracionário.

1ª propriedade – Multiplicação de potências de mesma base

Para simplificar a multiplicação de potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes.

a· am= an+m

Exemplo 1:

54· 5² = 5·5·5·5·5·5 = 56

Logo, temos que:

54· 5² = 54+2=56

Se necessário, é possível encontrar a potência de 56 realizando a multiplicação sucessiva de 5 por ele mesmo 6 vezes, porém, no uso da propriedade, o interesse é representar a multiplicação de duas ou mais potências como uma potência só.

Exemplo 2:

2³ · 2· 22=23+5+2=210

2ª propriedade – Divisão de potências de mesma base

Na divisão de potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos o expoente do numerador pelo expoente do denominador.

a: am= an - m

Exemplo 1:

Logo, temos que:

2: 25 = 28-5 = 2³

Note que realizar a simplificação é bem mais prático do que resolver essas potências de forma separada e depois fazer a divisão. Como ressaltado anteriormente, a intenção das propriedades é simplificar e facilitar as contas com potências.

Exemplo 2:

3ª propriedade – Potência de potência

Ao calcular a potência de uma potência, podemos conservar a base e multiplicar os expoentes.

(am)n=a· n

Exemplo 1:

(5³)² = (5 · 5 · 5)² = (5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) = 56

Logo, temos que:

(5³)² =5· = 56

Assim como as duas propriedades anteriores, a aplicação dessa propriedade ajuda a realizar essa operação de forma mais rápida

Exemplo 2

 

(45)-3 = 45 · (-3) = 4-15

4ª propriedade – Potência de um produto

Dado um produto de dois números reais elevados a um expoente, podemos elevar cada um dos fatores a esse expoente.

(a · b)n = a· bn

Exemplo:

(2 · 4)3=(2 · 4)(2 · 4)(2 · 4) = 2 · 2 · 2 · 4 · 4 · 4 = 2· 43

Logo, temos que:

(2 · 4)= 2· 43

5ª propriedade – Potência do quociente

Conhecida como potência de um quociente e análoga à propriedade anterior, sempre que houver uma potência de um quociente, podemos calcular a potência do dividendo e a potência do divisor.

(a : b)a: bn

Exemplo:

(6 : 4)² = (6 : 4) · (6 : 4) = 6² · 4²

Logo, temos que:

(6 : 4)² =6² : 4²

As propriedades de potências ajudam bastante na hora de resolver problemas com potências.
As propriedades de potências ajudam bastante na hora de resolver problemas com potências.

b) Casos particulares de potência

Existem alguns casos particulares de potência que merecem ser ressaltados, já que conhecer cada um deles é tão importante quanto o domínio das próprias propriedades. São eles:

  • potência de uma fração;

  • potência de expoente igual a 0;

  • potência de expoente igual a 1;

  • potência com o expoente negativo;

  • potência com expoente fracionário.

→ Potência unitária

Todo número elevado a um é ele mesmo.

a¹ = a

Exemplos:

a) 123¹ = 123

b) 0,54¹ = 054

→ Potência de expoente zero

Todo número diferente de zero elevado a zero é igual a um. Nesse caso existe uma restrição para a base, pois a potência 00 é uma indeterminação, ou seja, não possui uma resposta nos números reais, assim como a divisão do número zero.

0 = 1

Exemplos:

100= 1
0,750= 1
192392312= 1

→ Potência de uma fração

Como consequência da propriedade da potência de um quociente, lembrando que a fração é uma divisão, ao calcular uma potência de uma fração, podemos separar a potência desta forma:

Exemplos:

Leia também: Potências com expoente fracionário e decimal

→ Potência com um expoente negativo

Para calcular a potência de um expoente negativo, escrevemos o inverso da base e trocamos o sinal do expoente.

Quando a base da potência for um número inteiro, basta escrevermos um sobre a base.

Exemplo:

Quando a base for um número decimal, é necessário realizar a sua representação como uma fração. Quando a base é uma fração, para encontrar o inverso de uma fração, invertemos o numerador com o denominador.

Exemplo:

→ Potência com expoente fracionário

Quando o expoente é fracionário, podemos transformar essa potência em uma radiciação.

Exemplo:


c) Exercícios resolvidos

1) Simplificando a expressão (a3 · b-7 · a2) : (a2 · b-4)2, encontraremos:

a) a/b

b) ab

c) b

d) a²b

Resolução:

Letra B. Usando as propriedades de multiplicação de potência de mesma base, potência de potência e divisão de potência de mesma base, temos que:

(a³ · b-7 · a²) : (a² · b-4
(a3+2 · b-5 ) : (a2.2 · b-4.2)
(a5 · b-7 ) : (a· b-8)
a5-4 · b-7 - (-8)
a· b-7 +8
a· b1
a .b

02) (IFG) O valor da expressão aritmética abaixo é equivalente a:

a) 8/17

b) -8/17

c) 16/17

d) -16/17

Resolução:

Letra D.

Resolvendo primeiro o numerador, temos que:

Agora vamos resolver o denominador:

Como temos uma divisão do numerador pelo denominador, vamos multiplicar pelo inverso da segunda fração:

2. Multiplicação e Divisão de Potências

Na multiplicação das potências de bases iguais, mantém-se a base e soma-se os expoentes:

ax . ay = ax+y

52.53= 52+3= 55

Na Divisão das potências de bases iguais, mantém-se a base e subtrai-se os expoentes:

(ax) / (ay) = ax-y

(53) / (52) = 53-2 = 51

Quando a base está entre parênteses e há outro expoente fora (potência de potência), mantém-se a base e multiplica-se os expoentes:

(ax)y = ax.y

(32)5= 32.5 = 310


3. Potenciação de frações algébricas

A fração algébrica possui uma incógnita no denominador
A fração algébrica possui uma incógnita no denominador        

A potenciação é uma das operações matemáticas básicas que podem ser feitas com frações que possuem incógnitas no denominador, isto é, frações algébricas.

Frações algébricas são expressões que possuem pelo menos uma incógnita no denominador. São exemplos de frações algébricas:

1
x

k2x3y4z
abc

Suponha que as frações acima sejam elevadas ao quadrado. Essa potência será representada da seguinte maneira:

Frações algébricas ao quadrado

Cálculo de potenciação de frações algébricas

A primeira propriedade que deve ser usada na potenciação de fração algébrica é a de potência de fração. Essa propriedade garante que potências desse tipo podem ser feitas para o numerador e para o denominador separadamente.

A propriedade a que nos referimos é a seguinte:

Propriedade de potência de fração

Como exemplo, vamos calcular a potência de fração algébrica a seguir:

Potenciação de fração algébrica, exemplo 1

Aplicando a propriedade acima e realizando os cálculos obtidos, teremos:

Potenciação de fração algébrica, solução 1

Também é possível que seja necessário usar a propriedade de potência de produto. Quando um produto de números (ou incógnitas) diferentes está todo elevado a algum expoente, cada um dos fatores desse produto deve ser elevado separadamente. Matematicamente:

Propriedade de potência de produto

Vamos resolver a potência de fração algébrica a seguir:

Potenciação de fração algébrica, exemplo 2

A solução desse exemplo é a seguinte:

Potenciação de fração algébrica, solução 2

terceira propriedade usada nesses cálculos é a “potência de potência”. Se houver uma potência elevada a algum expoente, multiplicaremos os dois expoentes.

A última propriedade é a de divisão de potências de mesma base, na qual mantemos a base e subtraímos os expoentes. Essa propriedade é usada para simplificar frações algébricas. Veja um exemplo:

Potenciação de fração algébrica, exemplo 3

Aplicando as quatro propriedades discutidas anteriormente, teremos:

Potenciação de fração algébrica, solução 3


Fonte:

Toda Matéria - Potenciação
Mundo Educação - Propriedades da potenciação
Mundo Educação - Potências de frações algébricas

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