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MT MAT-BAS Matemática Básica
Radiciação e Racionalização de denominadores

1. Radiciação

Radiciação é a operação que realizamos quando queremos descobrir qual o número que multiplicado por ele mesmo uma determinada quantidades de vezes dá um valor que conhecemos.

Exemplo

Qual é o número que multiplicado por ele mesmo 3 vezes dá como resultado 125?

Por tentativa podemos descobrir que:

5 x 5 x 5 = 125

Logo, o 5 é o número que estamos procurando.

a) Símbolo da Radiciação

Para indicar a radiciação usamos a seguinte notação:

simbolo de raiz

Sendo,

n o índice do radical. Indica quantas vezes o número que estamos procurando foi multiplicado por ele mesmo.
X o radicando. Indica o resultado da multiplicação do número que estamos procurando por ele mesmo.

Quando não aparecer nenhum valor no índice do radical, o seu valor é igual a 2. Essa raiz é chamada de raiz quadrada.

A raiz de índice igual a 3 também recebe um nome especial e é chamada de raiz cúbica.

Exemplos

3√27 (Lê-se raiz cúbica de 27)
5√32 (Lê-se raiz quinta de 32)
√400 (Lê-se raiz quadrada de 400)

b) Propriedades da Radiciação

1ª Propriedade

A raiz enésima de um número elevado a enésima potência é o próprio número. Em outras palavras, essa propriedade trata das raízes em que o índice do radical é igual ao expoente do radicando. Observe:

A raiz enésima de um número elevado a enésima potência
A raiz enésima de um número elevado a enésima potência

2ª Propriedade

O índice de uma raiz pode ser multiplicado (ou dividido) por um número real qualquer, desde que o expoente do radicando também seja multiplicado (ou dividido) pelo mesmo número. Matematicamente:


Multiplicação ou divisão do índice de um radical e do expoente do radicando pelo mesmo fator

3ª Propriedade

Essa propriedade trata das raízes em que o radicando é o produto entre dois números. Ela pode ser interpretada da seguinte maneira: A raiz enésima do produto é igual ao produto das raízes enésimas. Isso significa que:

A raiz do produto é igual ao produto das raízes
A raiz do produto é igual ao produto das raízes

4ª Propriedade

Essa propriedade é idêntica à anterior, mas se aplica à divisão de dois números quaisquer. Nesse caso, a raiz enésima da razão é igual à razão entre as raízes enésimas. Observe:

A raiz da razão é igual à razão das raízes
A raiz da razão é igual à razão das raízes

5ª Propriedade

Uma potência de uma raiz pode ser reescrita trazendo o expoente para o radicando. Matematicamente esta propriedade é dada da seguinte maneira:

Propriedade envolvendo uma potência de algum radical
Propriedade envolvendo uma potência de algum radical

6ª Propriedade

Essa propriedade diz respeito às raízes de raízes. Considerando a raiz enésima da raiz enésima de um número, é possível obter o seu resultado utilizando o seguinte:

Propriedade envolvendo uma raiz de algum radical
Propriedade envolvendo uma raiz de algum radical

7ª Propriedade

Todo radical pode ser escrito na forma de potência com expoente fracionário. Observe:

Propriedade que relaciona raízes de potências a potências com expoentes fracionários


c) Radiciação e Potenciação

A radiciação é a operação matemática inversa da potenciação. Desta forma, podemos encontrar o resultado de uma raiz buscando a potenciação que tem como resultado a raiz proposta.

Exemplos

a) √81= 9, pois sabemos que 92 = 81
b) 4√10 000 = 10, pois sabemos que 104 = 10 000

c) Simplificação de Radicais

Muitas vezes não sabemos de forma direta o resultado da radiciação ou o resultado não é um número inteiro. Neste caso, podemos simplificar o radical.

Para fazer a simplificação devemos seguir os seguintes passos:

1º) Fatorar o número em fatores primos.
2º) Escrever o número na forma de potência.
3º) Colocar a potência encontrada no radical e dividir por um mesmo número o índice do radical e o expoente da potência (propriedade da radiciação).

Exemplo

Calcule 5√ 243

Primeiro transformar o número 243 em fatores primos:

fatoração 243

243 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35

Depois colocar o resultado na raiz:

5√243 = 5√35

Para simplificar, devemos dividir o índice e o expoente da potenciação por um mesmo número. Quando isso não for possível, significa que o resultado da raiz não é um número inteiro.

5 : 5√35 : 5, note que ao dividir o índice por 5 o resultado é igual a 1, desta forma cancelamos o radical.

Assim,

5√243 = 3

2. Racionalização de Denominadores

racionalização de denominadores é um procedimento cujo objetivo é transformar uma fração com denominador irracional em uma fração equivalente com denominador racional.

Utilizamos essa técnica pois o resultado da divisão por um número irracional apresenta um valor com muito pouca precisão.

Quando multiplicamos o denominador e o numerador de uma fração por um mesmo número, obtemos uma fração equivalente, ou seja, frações que representam um mesmo valor.

Sendo assim, racionalizar consiste em multiplicar o denominador e o numerador por um mesmo número. O número escolhido para isso é chamado de conjugado.

a) Conjugado de um número

O conjugado do número irracional é aquele que ao ser multiplicado pelo irracional dará como resultado um número racional, ou seja, um número sem a raiz.

Quando for raiz quadrada, o conjugado será igual a própria raiz, pois a multiplicação do número por ele mesmo é igual ao número elevado ao quadrado. Desta forma, pode-se eliminar a raiz.

Exemplo 1

Encontre o conjugado da raiz quadrada de 2.

Solução

O conjugado da raiz quadrada de 2 é a própria raiz quadrada de 2, pois raiz quadrada de 2. raiz quadrada de 2 igual a raiz quadrada de 2.2 fim da raiz igual a índice radical 2 dois pontos 2 de 2 à potência de 2 dois pontos 2 fim do exponencial fim da raiz igual a 2

Quando a raiz apresentar índice diferente de 2, o conjugado terá o mesmo índice da raiz, só que será necessário encontrar o expoente que, somado ao expoente do número inicial, dê como resultado um valor igual ao índice da raiz.

Exemplo 2

Qual o conjugado da raiz cúbica de 2?

Solução

Para encontrar o conjugado de cúbica raiz de 2, não é possível simplesmente multiplicarmos pela raiz cúbica de 2, pois o resultado será raiz cúbica de 4 e não dará para eliminar a raiz.

Note que o expoente do 2 é 1, assim, se somarmos o 2, teremos o novo expoente igual a 3, que é igual ao índice da raiz. Dessa forma, temos:

cúbica raiz de 2. cúbica raiz de 2 ao quadrado fim da raiz igual a cúbica raiz de 2.2 ao quadrado fim da raiz igual a índice radical 3 dois pontos 3 de 2 à potência de 3 dois pontos 3 fim do exponencial fim da raiz igual a 2

Portanto, o conjugado da raiz cúbica de 2 é a raiz cúbica de 4 (22 = 4).

Algumas vezes, pode aparecer no denominador uma soma ou subtração de raízes quadradas. Neste caso, o conjugado será igual às raízes com a operação inversa.

Exemplo 3

Qual o conjugado de raiz quadrada de 6 mais raiz quadrada de 5?

Solução

O conjugado será igual a raiz quadrada de 6 menos raiz quadrada de 5, pois ao multiplicar esses números temos como resultado um número racional, ou seja:

começar estilo tamanho matemático 14px parêntese esquerdo raiz quadrada de 6 mais raiz quadrada de 5 parêntese direito espaço. espaço parêntese esquerdo raiz quadrada de 6 menos raiz quadrada de 5 parêntese direito espaço igual a abre parênteses raiz quadrada de 6 fecha parênteses ao quadrado menos abre parênteses raiz quadrada de 6 fecha parênteses. abre parênteses raiz quadrada de 5 fecha parênteses mais abre parênteses raiz quadrada de 6 fecha parênteses. abre parênteses raiz quadrada de 5 fecha parênteses menos abre parênteses raiz quadrada de 5 fecha parênteses ao quadrado igual a 6 menos 5 igual a 1  fim do estilo

b) Racionalizando um fração

Para racionalizar uma fração, devemos seguir os seguintes passos:

  • Encontrar o conjugado do denominador. Como vimos, o conjugado deve ser tal que elimine a raiz do denominador.
  • Multiplicar o conjugado em cima e embaixo da fração.
  • Simplificar a fração equivalente encontrada.


3. Operações com Radicais

a) Soma e Subtração

Para somar ou subtrair devemos identificar se os radicais são semelhantes, ou seja, se apresentam índice e radicando iguais.

1º caso – Radicais semelhantes

Para somar ou subtrair radicais semelhantes, devemos repetir o radical e somar ou subtrair seus coeficientes.

Exemplos

a) 20 6√ 3 + 103 6√ 3 = 123 6√ 3
b) 5√13 – 43 5√13 = 13 5√13
c) 2 3√5 + 8 3√ 5 – 4 3√5 = 6 3√5

2º caso – Radicais semelhantes após simplificação

Neste caso, devemos inicialmente simplificar os radicais para se tornarem semelhantes. Depois, faremos como no caso anterior.

Exemplos

a) 8 √ 6 + 9 √ 24 = 8 √ 6 + 9 √ (22. 2. 3) = 8 √ 6 + (9.2) √ 6 = 26 √ 6
b) 5 3√ 81 - 4 3√ 3 = 5 3√ (33. 3) - 4 3√ 3 = 5.3 3√ 3 - 4 3√ 3 = 15 3√ 3 – 4 3√ 3 = 11 3√ 3

3º caso – Radicais não são semelhantes

Calculamos os valores dos radicais e depois efetuamos a soma ou a subtração.

Exemplos

a) √81 + √25 = 9 + 5 = 14
b) √5 - √2 = 2,24 - 1,41 = 0,82 (valores aproximados, pois a raiz quadrada de 5 e de 2 são números irracionais)

b) Multiplicação e Divisão

1º caso - Radicais com mesmo índice

Repete a raiz e multiplica ou divide os radicandos.

Exemplos

a) 3√ 7 . 3√ 4 = 3√(7 .4) = 3√28
b) 5√ 194 : 5√ 97 = 5√ (194 : 97) = 5√2

2º caso - Radicais com índices diferentes

Primeiro, devemos reduzir ao mesmo índice, depois podemos multiplicar ou dividir os radicandos.

Exemplos

a) 3√ 6 . √ 3 = 3x2√ 61x2 . 2x3√ 31x3 = 6√ 36 . 6√ 27 = 6√ 972
b) 3√ 4 : 5√ 8 = 3x5√ 41x5 : 5x3√ 81x3 = 15√ (1024 : 512) = 15√ 2

4. Resolvendo raízes por meio da fatoração

Para encontrar as raízes de números variados, utilizamos o processo de fatoração do radicando.

radiciação é a operação inversa da potenciação. Em geral, utilizamos a simbologia abaixo para representá-la:

Nomes de cada elemento da radiciação
Nomes de cada elemento da radiciação

Apenas quando se tratar de raiz quadrada (índice 2) podemos deixar o espaço destinado ao índice em branco. O índice da fração indica quantas vezes é necessário multiplicar o número da potência por si mesmo até obter o valor do radicando. Por exemplo:

Exemplos de radiciações com índices 2, 3 e 4
Exemplos de radiciações com índices 2, 3 e 4

Ao lidar com radicandos maiores, podem surgir dúvidas, pois o valor da raiz não aparecerá tão facilmente. Para situações como essas, devemos utilizar o processo de fatoração para obter a raiz. Vale lembrar que na fatoração há um número que deve ser dividido pelo menor número primo possível sucessivas vezes até que o quociente seja um. Vejamos como encontrar a raiz quadrada de 729:

Passo a passo da fatoração de 729

Passo a passo da fatoração de 729

Nessa fatoração, começamos com o número do radicando, o 729, à esquerda. À direita, colocamos o menor primo que o dividirá. Novamente, à esquerda, coloca-se o número do quociente da divisão e repete-se esse processo até que o quociente seja 1. Como estamos procurando o resultado de uma raiz cujo índice é 2, agrupamos os números da direita em potências de expoente 2. Em seguida, colocamos essa multiplicação de potências dentro do radical, e aqueles números cujo o expoente é o mesmo do índice da raiz podem sair do radical sem o expoente. Vejamos outros exemplos:

Exemplos de radiciações através da fatoração


Exemplos de radiciações através da fatoração

5. Simplificação de radicais

A simplificação de radicais é um processo que se baseia nas propriedades dos radicais e que facilita o cálculo de raízes.

Radical é o símbolo utilizado para indicar o cálculo de raízes. Quando falamos em simplificação de radicais, referimo-nos à utilização de algumas das propriedades das raízes para facilitar os cálculos que os envolvem.

As simplificações discutidas aqui serão divididas em alguns casos que serão expostos da seguinte maneira: primeiro, a propriedade dos radicias que permite a simplificação e, depois, um exemplo. Observe:

Caso 1 – Expoente e índice múltiplos

Quando os radicais apresentarem índices múltiplos do expoente do radicando (ou vice-versa), a seguinte propriedade dos radicais poderá ser utilizada:

Essa propriedade garante que índice e expoente podem ser multiplicados ou divididos por um número qualquer sem mudar o valor da raiz.

Exemplo:

Note que o número pelo qual o índice e o expoente do radicando foram divididos é 3.

Caso 2 – Utilizando fatoração

Para simplificar alguns radicais, basta reescrever o radicando como produto de fatores primos. Para tanto, fatore o radicando e observe o índice do radical. Supondo que esse índice seja 3, reagrupe os fatores primos encontrados em potências de expoente 3. Depois, basta utilizar a seguinte propriedade:


Esse caso é útil para simplificar radicais como os do exemplo a seguir:

Como x7 = x2·x2·x2·x, substitua o radicando por esse resultado e utilize a propriedade descrita acima.

Caso 3 – Raízes de frações

Quando for necessário simplificar uma raiz de algum número na forma de fração, utilize a seguinte propriedade:

Após cumprir esse passo, basta seguir com a simplificação de raízes para o numerador e para o denominador separadamente.

Caso 4 – Racionalização

Quando aparecem radicais no denominador, é necessário fazer a racionalização deles para prosseguir com a simplificação. Racionalização é o processo feito para criar frações equivalentes em que os radicais estejam apenas no numerador.

Para racionalizar uma fração, multiplique numerador e denominador pelo radical presente no denominador. Observe o exemplo:

Repare no exemplo acima que a fração com radical no denominador foi simplificada e o resultado é apenas raiz de 3.

A raiz quadrada de 4 é fácil de ser calculada. Outras, no entanto, dependem de propriedades de radicais para isso
A raiz quadrada de 4 é fácil de ser calculada. Outras, no entanto, dependem de propriedades de radicais para isso

Fonte:

Toda Matéria - Radiciação
Toda Matéria - Racionalização de Denominadores
Mundo Educação - Propriedades das raízes
Mundo Educação - Resolvendo raízes através da fatoração
Mundo Educação - Simplificação de raízes

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