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MT MAT-BAS Matemática Básica
Produtos notáveis e Fatoração

0. O que são polinômios?

Polinômios são expressões algébricas formadas pela adição de monômios. Ambos são constituídos por números conhecidos e números desconhecidos. Antes de partirmos para as operações matemáticas que envolvem os polinômios, precisamos entender melhor alguns conceitos. Vamos lá?

→ O que são monômios?

Monômios são constituídos pelo produto entre números conhecidos e incógnitas (números desconhecidos comumente representados por letras). Divisões por incógnitas não são consideradas monômios, mas são chamados de frações algébricas.

Exemplos:

a) 4x

b) 7xy2

O número conhecido é chamado de coeficiente, e o restante do monômio é chamado de parte literal. Caso seja analisado dentro de um polinômio, o monômio também é chamado de termo. Um termo geralmente é reconhecido não por isso, mas por sempre ser separado por somas e subtrações. Quando a parte literal de dois ou mais monômios é igual, dizemos que eles são monômios semelhantes.

→ Exemplos de polinômios

Como dito anteriormente, qualquer expressão algébrica formada pela adição de monômios é chamada de polinômio. Dessa maneira, seguem os exemplos de polinômios:

a) 4xy + 2x + 7yw

b) 4x4 – x2 + 60x – 7

1. Fatoração Numérica

A fatoração numérica corresponde à decomposição de um número em fatores primos, para isso é necessário obedecer a uma sequência.

Fatorar é o mesmo que decompor o número em fatores primos, isto é, escrever um número através da multiplicação de números primos. Na fatoração utilizamos os números primos obedecendo a uma ordem crescente de acordo com as regras de divisibilidade em razão do termo a ser fatorado. Números primos são aqueles que podem ser divididos somente por um e por ele mesmo. Observe a decomposição em fatores primos dos números a seguir:

24 = 2 x 2 x 2 x 3
10 = 2 x 5
52 = 2 x 2 x 13
112 = 2 x 2 x 2 x 2 x 7
600 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5


a) Forma prática de fatoração

O número a ser fatorado deverá ocupar a coluna da esquerda e a coluna da direita será preenchida com os fatores primos. Ao dividir o número pelo algarismo primo os resultados deverão ser colocados na coluna da direita. As divisões deverão ser efetuadas no intuito de simplificar ao máximo o número, isto é reduzi-lo ao número 1.


b) Objetivos da fatoração

Cálculo da raiz quadrada de um número.

Vamos determinar a raiz quadrada do número 144.

De acordo com a fatoração do número 144 temos: 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3.
No caso da raiz quadrada, podemos representar o número 144 da seguinte forma:
2² x 2² x 3². Como o índice da raiz quadrada é 2, podemos simplificar os expoentes de valor 2 com o índice 2 da raiz. As bases dos expoentes simplificados saem da raiz multiplicadas entre si. Acompanhe a demonstração a seguir:


2. Fatoração de expressões algébricas

A fatoração de expressões algébricas tem por objetivo representar a soma polinomial de números e incógnitas através do produto de termos.

Pode ser que você ainda não saiba como funciona a fatoração de expressões algébricas ou, simplesmente, a fatoração de polinômios, mas provavelmente já deve ter feito a fatoração de algum número. Dê uma olhada na fatoração do número 27:

Exemplo de fatoração numérica do número 27
Exemplo de fatoração numérica do número 27

Observe que, com a fatoração do número 27, ele ficou expresso como o produto 3 . 3 . 3 = 27. Esse processo acontece de forma bem semelhante com as expressões algébricas. Quando fatoramos um polinômio, também pretendemos expressá-lo por meio de uma multiplicação.

Mas por que utilizar a fatoração?

Vejamos um exemplo numérico: qual é o resultado de 1524² – 1523²? Antes que você comece a resolver, saiba que através da fatoração conhecida como “diferença de dois quadrados” é possível utilizar apenas uma adição para chegar à resposta desse cálculo. Veja como:

1524² – 1523² = (1524 + 1523) . (1524 – 1523) = (1524 + 1523) . 1 = 3.047

Bem mais fácil do que resolver as potências, não é mesmo? O objetivo da fatoração é simplificar os cálculos. Em geral, a fatoração de expressões algébricas é extremamente útil para simplificar cálculos com polinômios, isentando-nos de muitos cálculos desnecessários.

    a) 1° caso: Fator comum

    Na fatoração por fator comum em evidência, utilizamos a idéia de fazer grupos de polinômios, ao fatorar escrevemos a expressão na forma de produto de expressões mais simples.

    O polinômio x² + 2x possui forma fatorada, veja:

    x² + 2x .: podemos dizer que o monômio x é comum a todos os termos, então vamos colocá-lo em evidência e dividir cada termo do polinômio x² + 2x por x.
    Temos: x (x + 2)
    Concluímos que x (x + 2) é a forma fatorada do polinômio x² + 2x.
    Para termos certeza dos cálculos, podemos aplicar a distribuição na expressão x (x + 2) voltando ao polinômio x² + 2x.

    Exemplos de fatoração utilizando fator comum em evidência:

    Exemplo 1
    8x³ - 2x² + 6x (fator comum: 2x)
    2x (4x² - x + 3)


    Exemplo 2
    a6 – 4a² (fator comum: a²)
     (a4 – 4)


    Exemplo 3
    4x³ + 2x² + 6x (notamos que o monômio 2x é comum a todos os termos)
    2x (2x² + x + 3)

    Exemplo 4
    6x³y³ – 9x²y + 15xy² (fator comum: 3xy)
    3xy (2x²y² – 3x + 5y)


    Exemplo 5
    8b– 16b² – 24b (fator comum: 8b)
    8b (b³ – 2b – 3)


    Exemplo 6
    8x² – 32x – 24 (fator comum: 8)
    (x² – 4x – 3)

    Exemplo 7
    3x² – 9xy + 6x + 21x3(fator comum: 3x)
    3x (x – 3y + 2 + 7x2)


    Exemplo 8
    5a²b³c4 + 15 abc + 50a4bc2 (fator comum: 5abc)
    5abc (ab²c³ + 3 + 10a3c)


    Aplicação do fator comum em evidência na resolução de uma equação produto (exemplo 9) e na resolução de uma equação incompleta do 2º grau (exemplo 10).

    Exemplo 9
    (3x – 2) (x – 5) = 0
    Temos:
    3x – 2 = 0
    3x = 2
    x’ = 2/3
    x – 5 = 0
    x’’ = 5

    Exemplo 10
    2x² - 200 = 0
    Temos:
    2x² = 200
    x² = 200/2
    x² = 100
    √x² = √100
    x’ = 10
    x’’ = – 10    

    b) 2° Caso: Agrupamento

    Agrupamento é o segundo caso de fatoração, para utilizá-lo devemos ter conhecimento do primeiro caso, pois para fatorar uma expressão algébrica utilizando o agrupamento é preciso agrupar os termos semelhantes e colocá-los em evidência.

    Quando aplicamos o caso de fatoração por agrupamento, utilizamos a fatoração por termos comuns. Veja:

    Se observarmos a expressão ab + 3b + 7a + 21 veremos que não são todos os monômios que têm termos semelhantes, mas podemos unir os que possuem termos semelhantes.

    Assim, temos: ab + 3b + 7a + 21, agora aplicamos o 1º caso de fatoração (termo comum), colocando em evidência cada elemento comum de cada agrupamento.

    ab + 3b + 7a + 21
            ↓             ↓
    b termo       7 é o termo comum
    comum

    Então: b (a + 3) + 7 (a + 3)

    Mesmo fazendo essa fatoração observamos que ainda podemos fazer mais uma fatoração, pois os dois termos b (a + 3) e 7 (a + 3) possuem um termo em comum
    (a + 3). Então, aplicamos o processo do fator comum, ficando assim a fatoração:

    b (a + 3) + 7 (a + 3)
    (a + 3) (b + 7)

    Portanto, a expressão algébrica ab + 3b + 7a + 21 fatorada fica assim: (a + 3) (b + 7).    

    3° Caso: Trinômio Quadrado Perfeito

    4° Caso: Trinômio do tipo x² + Sx + P

    c) 5° Caso: Diferença de dois quadrados

    O quinto caso de fatoração é mais uma forma de fatorar expressões algébricas. Esse caso de fatoração só pode ser utilizado em expressões algébricas que possuem dois monômios e os mesmos devem estar elevados ao quadrado (elevados à quinta potência).

    Chegamos à conclusão que a diferença de dois quadrados pode ser utilizada, quando:

    -Tivermos uma expressão algébrica com dois monômios (sejam binômios).
    - Os dois monômios forem quadrados.
    - A operação entre eles for de subtração.

    Veja alguns exemplos de expressões algébricas que seguem esse modelo:


    • a2 - 16

    • 1 – a2
      3

    • 4x2 – b2


    Como fazer essa fatoração

    Dada a expressão algébrica 9x2 – 81, veja os passos que devemos tomar para chegarmos à forma fatorada utilizando o 5º caso de fatoração.




    A forma fatorada será (3x – 9) (3x + 9).

    Veja alguns exemplos:

    Exemplo 1:
    A expressão algébrica x2 – 4 é uma expressão com dois monômios e as raízes quadradas são respectivamente x e 2, então a sua forma fatorada é (x – 2) (x + 2).


    Exemplo 2:
    Dada a expressão algébrica 16x2 – 25, a raiz dos termos 16x2 e 25 é respectivamente 4x e 5. Então, a forma fatorada é (4x – 5) (4x + 5).

    Exemplo 3:
    Dada a expressão algébrica 36x2 – 81y2, a raiz dos termos 36x2 e 81y2 é respectivamente 6x e 9y. Então, a forma fatorada é (6x – 9y) (6x + 9y).

        

    6° Caso: Soma de dois cubos

    7° Caso: Diferença de dois cubos

    3. Produtos Notáveis

    Os produtos notáveis são expressões algébricas utilizadas em muitos cálculos matemáticos, por exemplo, nas equações de primeiro e de segundo grau.

    O termo "notável" refere-se à importância e notabilidade desses conceitos para a área da matemática.

    Antes de sabermos suas propriedades é importante estar atento a alguns conceitos importantes:

    • quadrado: elevado a dois
    • cubo: elevado a três
    • diferença: subtração
    • produto: multiplicação

    a) Propriedades dos Produtos Notáveis

        Quadrado da Soma de Dois Termos

    quadrado da soma dos dois termos é representado pela seguinte expressão:

    (a + b)2 = (a + b) . (a + b)

    Logo, ao aplicar a propriedade distributiva temos que:

    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

    Assim, o quadrado do primeiro termo é somado ao dobro do primeiro termo pelo segundo termo, e por fim, somado ao quadrado do segundo termo.

        Quadrado da Diferença de Dois Termos

    quadrado da diferença dos dois termos é representado pela seguinte expressão:

    (a – b)2 = (a – b) . (a – b)

    Logo, ao aplicar a propriedade distributiva temos que:

    (a – b)2 = a2 - 2ab + b2

    Logo, o quadrado do primeiro termo é subtraído ao dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo e, por fim, somado ao quadrado do segundo termo.

        O Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos

    produto da soma pela diferença dois termos é representado pela seguinte expressão:

    a2 - b2 = (a + b) . (a – b)

    Nota-se que ao aplicar a propriedade distributiva da multiplicação, o resultado da expressão é a subtração do quadrado do primeiro e do segundo termo.

        O Cubo da Soma de Dois Termos

    cubo da soma de dois termos é representado pela seguinte expressão:

    (a + b)3 = (a + b) . (a + b) . (a + b)

    Logo, ao aplicar a propriedade distributiva temos:

    a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

    Dessa forma, o cubo do primeiro termo é somado ao triplo do produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo termo e o triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo termo. Por fim, ele é somado ao cubo do segundo termo.

        O Cubo da Diferença de Dois Termos

    cubo da diferença de dois termos é representado pela seguinte expressão:

    (a – b)3 = (a – b) . (a – b) . (a – b)

    Logo, ao aplicar a propriedade distributiva temos:

    a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

    Assim, o cubo do primeiro termo é subtraído ao triplo do produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo termo. Por conseguinte, ele é somado ao triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo termo. E, por fim, é subtraído ao cubo do segundo termo.

    Fontes:

    Toda Matéria - Produtos notáveis
    Mundo Educação - Fatoração numérica
    Mundo Educação - Polinômios: o que são?
    Brasil Escola - Fator Comum
    Mundo Educação - 5º caso de fatoração
    Mundo Educação - 2º caso de fatoração

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