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MT MAT-BAS Matemática Básica
Equações e Sistemas do primeiro grau

0. Equação

Toda equação deve possuir: sinal de igualdade, primeiro e segundo membro e uma ou mais incógnitas.    

Podemos definir equação como uma sentença matemática que possui igualdade entre duas expressões algébricas e uma ou mais incógnitas (valores desconhecidos) que são expressadas por letras. Sendo assim, toda equação precisa ter:

  • Sinal de igualdade;

  • Primeiro membro (antes do sinal de igualdade) e segundo membro (depois do sinal de igualdade);

  • Incógnita, que é representada, geralmente, por x, y e z.

    Veja os exemplos a seguir e identifique se são equações:

⇒ a) 2x – 6 = 2

Características:

Primeiro membro: 2x – 6

Segundo membro: 2

Possui sinal de igualdade e x é o termo desconhecido; logo, 2x – 6 = 2 é uma equação.

⇒ I) 2 + 4 = 2 – 3

Características:

Primeiro membro: 2 + 4

Segundo membro: 2 – 3

Possui sinal de igualdade, mas não tem incógnita; logo, 2 + 4 = 2 – 3 não é uma equação.

⇒ II) 2x +3y – 1

Nesse exemplo, temos somente uma expressão algébrica. Não é possível determinar o primeiro e o segundo membro, pois a expressão não possui sinal de igualdade. Portanto, 2x +3y – 1 não é uma equação.

    a) Graus da Equação

    Existem graus distintos para a equação. Nas equações que possuem somente uma incógnita, o grau é determinado pelo maior valor que os seus expoentes assumem. Veja os exemplos a seguir:

    ⇒ 2x2 + x = 4

    Essa é uma equação de grau 2. Isso porque o maior expoente da incógnita x é 2.

    ⇒ y5 + 2y– y3 + 3y2 + y + 1 = 0

    A equação é de grau 5. Observe que 5 é o maior grau para a incógnita y.

    Quando a equação possui mais do que uma incógnita, podemos expressar o grau em relação à equação como um todo. Para isso, devemos avaliar o grau de cada monômio da equação. Observe o exemplo:

    ⇒ Dada a equação: x2y2 3x3 = – 5yx, identifique o seu grau em relação à incógnita x e y. Em seguida, encontre o seu grau geral.

    Grau da equação em relação à incógnita x → 3, porque 3 é o maior valor para o expoente de x.

    Gau da equação em relação à incógnita y → 2, porque 2 é o maior valor para o expoente de y.

    Grau geral da equação → 4, pois 4 é o maior grau dos monômios da equação. Veja como cada monômio deve ser avaliado para obtermos essa conclusão:

    x2y2 → 2 + 2 = 4 → 4 é o grau do monômio x2y2;

    3x3 = 3x3y0 → 3 + 0 = 3 → 3 é o grau do monômio 3x3
    5yx → 1 + 1 = 2 → 2 é o maior grau do monômio 5yx.

      b) Classificação das Equações

      • Possíveis e determinadas: São equações que admitem pelo menos uma solução.

      Exemplo: 2x = 3 → x = 3
                                            2

      • Possíveis e indeterminadas: São equação que possuem infinitas soluções.

      Exemplo: x + 2 = x + 2 → A incógnita x assume infinitos valores numéricos. Com isso, a equação possui infinitas soluções.

      • Impossível: Não possui nenhuma solução.

      Exemplos:
      0x = 4 → Não é possível realizar a divisão de 4 por 0.
      y = y + 2 → y – y = + 2 → 0 = +2 → Não existe equação sem incógnita.

      c) Resolução de Equações

      Para resolver equações, utilizamos o princípio aditivo, que consiste em adicionar ou subtrair um valor em ambos os membros da igualdade, e o multiplicativo, em que multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equação por um mesmo valor. Observe a solução das equações a seguir para entender melhor esses princípios.

      ⇒ Exemplo: x + 2 = 4 – 6

      Para solucionar essa equação, no primeiro membro deve ficar somente a incógnita e, no outro, os números. Com isso, devemos retirar +2 do primeiro membro da equação. Para que isso seja feito, aplique o principio aditivo, que consiste em adicionar (– 2) nos dois membros da equação:

      x + 2 + ( – 2) = 4 – 6 + ( – 2)
      x + 0 = 4 – 6 – 2
      x = – 4

      ⇒ Exemplo: y – 3 = + 4
                         2

      Como no primeiro membro da equação deve ficar somente a incógnita, aplique o princípio aditivo para retirar o – 3.

      y – 3 + 3 = + 4 + 3
      2                         
      y + 0 = + 7
      2               
      1 . y = + 7
      2              

      Agora devemos retirar o ½ do primeiro membro da equação. Para isso, aplique o princípio multiplicativo, efetuando a multiplicação por 2 em ambos os membros da equação.

      2 . 1 . y = + 7 . 2
      2             
      2y = + 14
      2          
      y = + 14


      1. Equação do Primeiro Grau

      As equações de primeiro grau são sentenças matemáticas que estabelecem relações de igualdade entre termos conhecidos e desconhecidos, representadas sob a forma:

      ax+b = 0

      Donde a e b são números reais, sendo a um valor diferente de zero (a ≠ 0) e x representa o valor desconhecido.

      O valor desconhecido é chamado de incógnita que significa "termo a determinar". As equações do 1º grau podem apresentar uma ou mais incógnitas.

      As incógnitas são expressas por uma letra qualquer, sendo que as mais utilizadas são x, y, z. Nas equações do primeiro grau, o expoente das incógnitas é sempre igual a 1.

      As igualdades 2.x = 4, 9x + 3 y = 2 e 5 = 20a + b são exemplos de equações do 1º grau. Já as equações 3x2+5x-3 =0, x3+5y= 9 não são deste tipo.

      O lado esquerdo de uma igualdade é chamado de 1º membro da equação e o lado direito é chamado de 2º membro.

      a) Como resolver uma equação de primeiro grau?

      O objetivo de resolver uma equação de primeiro grau é descobrir o valor desconhecido, ou seja, encontrar o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira.

      Para isso, deve-se isolar os elementos desconhecidos em um dos lados do sinal de igual e os valores constantes do outro lado.

      Contudo, é importante observar que a mudança de posição desses elementos deve ser feita de forma que a igualdade continue sendo verdadeira.

      Quando um termo da equação mudar de lado do sinal de igual, devemos inverter a operação. Assim, se tiver multiplicando, passará dividindo, se tiver somando, passará subtraindo e vice-versa.

      Exemplo

      Qual o valor da incógnita x que torna a igualdade 8x - 3 = 5 verdadeira?

      Solução

      Para resolver a equação, devemos isolar o x. Para isso, vamos primeiro passar o 3 para o outro lado do sinal de igual. Como ele está subtraindo, passará somando. Assim:

      8x = 5 + 3
      8x = 8

      Agora podemos passar o 8, que está multiplicando o x, para o outro lado dividindo:
      x = 8/8
      x = 1

      Outra regra básica para o desenvolvimento das equações de primeiro grau determina o seguinte:

      Se a parte da variável ou a incógnita da equação for negativa, devemos multiplicar todos os membros da equação por –1. Por exemplo:

      – 9x = – 90 . (-1)
      9x = 90
      x = 10

      b)  Equações impossíveis e identidades

      • Sendo  , considere a seguinte equação: 2.(6x - 4) = 3.(4x - 1).

      Observe agora a sua resolução:

      2 . 6x - 2 . 4 = 3 . 4- 3 . 1

      12x - 8 = 12x - 3 

      12x - 12x = - 3 + 8

      0 . x = 5

      Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a equação é  impossível e, portanto, não tem solução. Logo, V =  Ø.

      Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando  e 

      •  Sendo  , considere a seguinte equação: 10 - 3x - 8 = 2 - 3x.

      Observe a sua resolução:

      -3x + 3x = 2 - 10 + 8

      0 . x = 0 

      Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a equação possui infinitas soluções. Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído à variável torna a equação verdadeira, são denominadas identidades.

      2. Sistemas de Equações

      Um sistema de equações é constituído por um conjunto de equações que apresentam mais de uma incógnita. Para resolver um sistema é necessário encontrar os valores que satisfaçam simultaneamente todas as equações.

      Um sistema é chamado do 1º grau, quando o maior expoente das incógnitas, que integram as equações, é igual a 1 e não existe multiplicação entre essas incógnitas.

      a) Como resolver um sistema de equações do 1º grau?

      Podemos resolver um sistema de equações do 1º grau, com duas incógnitas, usando o método da substituição ou o da soma.

      Método da substituição

      Esse método consiste em escolher uma das equações e isolarmos uma das incógnitas, para determinar o seu valor em relação a outra incógnita. Depois, substituímos esse valor na outra equação.

      Desta forma, a segunda equação ficará com uma única incógnita e, assim, poderemos encontrar o seu valor final. Para finalizar, substituímos na primeira equação o valor encontrado e, assim, encontramos também o valor da outra incógnita.

      Exemplo

      Resolva o seguinte sistema de equações:

      abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left espaçamento de coluna 1.4ex fim dos atributos linha com célula com x mais y igual a fim da célula 12 linha com célula com 3 x menos y igual a fim da célula 20 fim da tabela fecha

      Resolução

      Vamos começar escolhendo a primeira equação do sistema, que é a equação mais simples, para isolar o x. Assim temos:

      exemplo sistema de equação

      Após substituir o valor de x, na segunda equação, podemos resolvê-la, da seguinte maneira:

      3. espaço parêntese esquerdo 12 menos y parêntese direito espaço menos y espaço igual a espaço 20 36 menos 3 y menos y igual a 20 menos 4 y igual a 20 menos 36 4 y igual a 16 y igual a 16 sobre 4 igual a 4

      Agora que encontramos o valor do y, podemos substituir esse valor da primeira equação, para encontrar o valor do x:

      x mais 4 igual a 12 x igual a 12 menos 4 x igual a 8

      Assim, a solução para o sistema dado é o par ordenado (8, 4). Repare que esse resultado tornam ambas as equações verdadeiras, pois 8 + 4 = 12 e 3.8 - 4 = 20.

      Método da Adição

      No método da adição buscamos juntar as duas equações em uma única equação, eliminando uma das incógnitas.

      Para isso, é necessário que os coeficientes de uma das incógnitas sejam opostos, isto é, devem ter o mesmo valor e sinais contrários.

      Exemplo

      Para exemplificar o método da adição, vamos resolver o mesmo sistema anterior:

      abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left espaçamento de coluna 1.4ex fim dos atributos linha com célula com x mais y igual a fim da célula 12 linha com célula com 3 x menos y igual a fim da célula 20 fim da tabela fecha

      Note que nesse sistema a incógnita y possui coeficientes opostos, ou seja, 1 e - 1. Então, iremos começar a calcular somando as duas equações, conforme indicamos abaixo:

      exemplo sistema por adição

      Ao anular o y, a equação ficou apenas com o x, portanto agora, podemos resolver a equação:

      x igual a 32 sobre 4 igual a 8

      Para encontrar o valor do y, basta substituir esse valor em uma das duas equações. Vamos substituir na mais simples:

      8 mais y igual a 12 seta dupla para a direita y igual a 12 menos 8 seta dupla para a direita y igual a 4

      Note que o resultado é o mesmo que já havíamos encontrado, usando o método da substituição.

      Quando as equações de um sistema não apresentam incógnitas com coeficientes opostos, podemos multiplicar todos os termos por um determinado valor, a fim de tornar possível utilizar esse método.

      Por exemplo, no sistema abaixo, os coeficientes de x e de y não são opostos:

      abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 3 x mais y igual a 24 fim da célula linha com célula com 5 x mais 2 y igual a 60 fim da célula fim da tabela fecha

      Portanto, não podemos, inicialmente, anular nenhuma das incógnitas. Neste caso, devemos multiplicar por algum número que transforme o coeficiente em um número oposto do coeficiente da outra equação.

      Podemos, por exemplo, multiplicar a primeira equação por - 2. Contudo, devemos ter o cuidado de multiplicarmos todos os termos por - 2, para não modificarmos a igualdade.

      Assim, o sistema equivalente ao que queremos calcular é:

      abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com menos 6 x menos 2 y igual a menos 48 fim da célula linha com célula com 5 x mais 2 y igual a 60 fim da célula fim da tabela fecha

      Agora, é possível resolver o sistema por adição, conforme apresentado abaixo:

      exemplo método da adição

      Logo, x = - 12, não podemos esquecer de substituir esse valor em uma das equações para encontrar o valor do y. Substituindo na primeira equação, temos:

      menos 6. parêntese esquerdo menos 12 parêntese direito menos 2 y igual a menos 48 mais 72 menos 2 y igual a menos 48 menos 2 y igual a menos 48 menos 72 menos 2 y igual a menos 120 y igual a 120 sobre 2 igual a 60

      Assim, a solução para o sistema é o par ordenado (- 12, 60)

      3. Classificação dos sistemas de equações

      Um sistema do 1º grau, com duas incógnitas x e y, formado pelas equações a1x + b1y = c1 e a2x + b2y = c2, terá a seguinte classificação: possível e determinado, possível e indeterminado e impossível.

      O sistema será possível e determinado quando apresentar uma única solução. Isso acontecerá quando:

      a com 1 subscrito sobre a com 2 subscrito não igual b com 1 subscrito sobre b com 2 subscrito

      Quando o sistema apresentar infinitas soluções, será classificado como possível e indeterminado. A condição para que um sistema seja desse tipo é:

      a com 1 subscrito sobre a com 2 subscrito igual a b com 1 subscrito sobre b com 2 subscrito igual a c com 1 subscrito sobre c com 2 subscrito

      Já os sistemas impossíveis, não possuem nenhuma solução. Nesse tipo de sistema temos:

      a com 1 subscrito sobre a com 2 subscrito igual a b com 1 subscrito sobre b com 2 subscrito não igual c com 1 subscrito sobre c com 2 subscrito

      4. Equações e Propriedade Distributiva

      Algumas equações só podem ser resolvidas após a aplicação da propriedade distributiva.

      Resolver uma equação consiste em determinar o valor da incógnita (termo desconhecido) representado por uma letra do alfabeto, considerando que as mais usadas são x, y e z. Uma equação é composta de dois membros, separados pelo sinal de igualdade. Os passos para a resolução são os mais variados possíveis; um passo muito praticado consiste em organizar a equação deixando de um dos lados da igualdade somente os números ligados às letras, denominados dependentes, e do outro lado da igualdade os números conhecidos como termos constantes. Vale ressaltar que quando trocamos um termo de lado, invertemos o seu sinal, positivo se torna negativo e vice-versa.
      As equações também podem apresentar algumas situações relacionadas a propriedades operatórias, como exemplo temos a propriedade distributiva da multiplicação. Vamos através de exemplos demonstrar processos de resolução de equações.

      a) Propriedade Distributiva

      Exemplo 1

      2x – 3(4 – x) = 5 + 4(2x + 1) → aplicar a propriedade distributiva na eliminação dos parênteses.

      2x – 12 + 3x = 5 + 8x + 4 → organizar a equação

      2x + 3x – 8x = 5 + 4 + 12 → aplicar as operações indicadas

      –3x = 21 → 1º membro negativo, devemos multiplicar os dois lados por (–1)

      3x = –21

      x= –21/3

      x = –7

      Exemplo 2

      3(x – 5) + 2(2x – 4) = x – 1 → aplicar a propriedade distributiva na eliminação dos parênteses.

      3x – 15 + 4x – 8 = x – 1 → organizar a equação.

      3x + 4x – x = –1 + 15 + 8 → aplicar as operações indicadas.

      6x = 22

      x = 22/6 → simplificar a fração dividindo os dois termos por 2.

      x = 11/3


      Exemplo 3

      2(x – 3) + 4(2x + 1) = 8 – 5(x – 4)

      2x – 6 + 8x + 4 = 8 – 5x + 20

      2x + 8x + 5x = 8 + 20 +6 – 4

      15x = 30

      x = 30/15

      x = 2


      Exemplo 4

      y + [y – (2y – 3 ) – 5] + 2y = –8 – 2(y + 7)

      y + [y –2y + 3 – 5] + 2y = –8 –2y –14

      y + [–y –2] + 2y = –22 –2y

      y – y – 2 + 2y = –22 –2y

      y – y + 2y + 2y = –22 +2

      4y = –20

      y = –20/4

      y = –5

         

      Fontes:

      Toda Matéria - Sistema de equações
      Toda Matéria - Equação do 1º Grau
      Mundo Educação - Equações e Propriedade Distributiva
      Mundo Educação - Definição de Equação
      Só Matemática - Equações impossíveis e identidades

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