1. Equação do Segundo Grau

A equação do segundo grau recebe esse nome porque é uma equação polinomial cujo termo de maior grau está elevado ao quadrado. Também chamada de equação quadrática, é representada por:

ax² + bx + c = 0

Numa equação do 2º grau, o x é a incógnita e representa um valor desconhecido. Já as letras a, b e c são chamadas de coeficientes da equação.

Os coeficientes são números reais e o coeficiente a tem que ser diferente de zero, pois do contrário passa a ser uma equação do 1º grau.

Resolver uma equação de segundo Grau, significa buscar valores reais de x, que tornam a equação verdadeira. Esses valores são denominados raízes da equação.

Uma equação quadrática possui no máximo duas raízes reais.

a) Equações do 2º Grau Completas e Incompletas

As equações do 2º grau completas são aquelas que apresentam todos os coeficientes, ou seja a, b e c são diferentes de zero (a, b, c ≠ 0).

Por exemplo, a equação 5x² + 2x + 2 = 0 é completa, pois todos os coeficientes são diferentes de zero (a = 5, b = 2 e c = 2).

Uma equação quadrática é incompleta quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0. Por exemplo, a equação 2x² = 0 é incompleta, pois a = 2, b = 0 e c = 0

Exercícios Resolvidos

1) Determine os valores de x que tornam a equação 4x² - 16 = 0 verdadeira.

Solução:

A equação dada é uma equação incompleta do 2º grau, com b = 0. Para equações deste tipo, podemos resolver, isolando o x. Assim:

Note que a raiz quadrada de 4 pode ser 2 e - 2, pois esses dois números elevados ao quadrado resultam em 4.

Assim, as raízes da equação 4x² - 16 = 0 são x = - 2 e x = 2

2) Encontre o valor do x para que a área do retângulo abaixo seja igual a 2.

Solução:

A área do retângulo é encontrada multiplicando-se a base pela altura. Assim, devemos multiplicar os valores dados e igualar a 2.

(x - 2) . (x - 1) = 2

Agora vamos multiplicar todos os termos:

x . x - 1 . x - 2 . x - 2 . (- 1) = 2
x² - 1x - 2x + 2 = 2
x² - 3x + 2 - 2 = 0
x² - 3x = 0

Após resolver as multiplicações e simplificações, encontramos uma equação incompleta do segundo grau, com c = 0.

Esse tipo de equação pode ser resolvida através da fatoração, pois o x se repete em ambos os termos. Assim, iremos colocá-lo em evidência.

x . (x - 3) = 0

Para o produto ser igual a zero, ou x = 0 ou (x - 3) = 0. Contudo, substituindo x por zero, as medidas dos lados ficam negativas, portanto, esse valor não será resposta da questão.

Então, temos que o único resultado possível é (x - 3) = 0. Resolvendo essa equação:

x - 3 = 0
x = 3

Desta forma, o valor do x para que a área do retângulo seja igual a 2 é x = 3.

b) Fórmula de Bhaskara

Quando uma equação do segundo grau é completa, usamos a Fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação.

A fórmula é apresentada abaixo:

c) Fórmula do Delta

Na fórmula de Bhaskara (aprenda como ela foi deduzida), aparece a letra grega Δ (delta), que é chamada de discriminante da equação, pois de acordo com o seu valor é possível saber qual o número de raízes que a equação terá.

Para calcular o delta usamos a seguinte fórmula:

Passo a Passo

Para resolver uma equação do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara, devemos seguir os seguintes passos:

1º Passo: Identificar os coeficientes a, b e c.

Nem sempre os termos da equação aparecem na mesma ordem, portanto, é importante saber identificar os coeficientes, independente da sequência em que estão.

O coeficiente a é o número que está junto com o x², o b é o número que acompanha o x e o c é o termo independente, ou seja, o número que aparece sem o x.

2º Passo: Calcular o delta.

Para calcular as raízes é necessário conhecer o valor do delta. Para isso, substituímos as letras na fórmula pelos valores dos coeficientes.

Podemos, a partir do valor do delta, saber previamente o número de raízes que terá a equação do 2º grau. Ou seja, se o valor de Δ for maior que zero (Δ > 0), a equação terá duas raízes reais e distintas.

Se ao contrário, delta for menor que zero (Δ < 0), a equação não apresentará raízes reais e se for igual a zero (Δ = 0), a equação apresentará somente uma raiz.

3º Passo: Calcular as raízes.

Se o valor encontrado para delta for negativo, não precisa fazer mais nenhum cálculo e a resposta será que a equação não possui raízes reais.

Caso o valor do delta seja igual ou maior que zero, devemos substituir todas as letras pelos seus valores na fórmula de Bhaskara e calcular as raízes.

Exercício Resolvido

Determine as raízes da equação 2x² - 3x - 5 = 0

Solução:

Para resolver, primeiro devemos identificar os coeficientes, assim temos:

a = 2
b = - 3
c = - 5

Agora, podemos encontrar o valor do delta. Devemos tomar cuidado com as regras de sinais e lembrar que primeiro devemos resolver a potenciação e a multiplicação e depois a soma e a subtração.

Δ = (- 3)² - 4 . (- 5) . 2 = 9 +40 = 49

Como o valor encontrado é positivo, encontraremos dois valores distintos para as raízes. Assim, devemos resolver a fórmula de Bhaskara duas vezes. Temos então:

Assim, as raízes da equação 2x² - 3x - 5 = 0 são x = 5/2 e x = - 1.

d) Sistema de Equações do 2º Grau

Quando queremos encontrar valores de duas incógnitas diferentes que satisfaçam simultaneamente duas equações, temos um sistema de equações.

As equações que formam o sistema podem ser do 1º grau e do 2º grau. Para resolver esse tipo de sistema podemos usar o método da substituição e o método da adição.

Exercício Resolvido

Resolva o sistema abaixo:

Solução:

Para resolver o sistema, podemos utilizar o método da adição. Neste método, somamos os termos semelhantes da 1ª equação com os da 2ª equação. Assim, reduzimos o sistema para uma só equação.

Podemos ainda simplificar todos os termos da equação por 3 e o resultado será a equação x² - 2x - 3 = 0. Resolvendo a equação, temos:

Δ = 4 - 4 . 1 . (- 3) = 4 + 12 = 16

Depois de encontrar os valores do x, não podemos esquecer que temos ainda de encontrar os valores de y que tornam o sistema verdadeiro.

Para isso, basta substituir os valores encontrados para o x, em uma das equações.

y₁ - 6. 3 = 4
y₁ = 4 + 18
y₁ = 22

y₂ - 6 . (-1) = 4
y₂ + 6 = 4
y₂ = - 2

Portanto, os valores que satisfazem ao sistema proposto são (3, 22) e (- 1, - 2)

2. Equações biquadradas

 Observe as equações:

x⁴ - 13x² + 36 = 0

9x⁴ - 13x² + 4 = 0

x⁴ - 5x² + 6 = 0

Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo em x⁴, um termo em x² e um termo constante. Os segundos membros são nulos.

Denominamos essas equações de equações biquadradas.

Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:

Exemplos:

x⁴ - 5x² + 4 = 0

x⁴ - 8x² = 0

3x⁴ - 27 = 0

Cuidado!

As equações abaixo não são biquadradas, pois em uma equação biquadrada a variável x só possui expoentes pares.

x⁴ - 2x³ + x² + 1 = 0

6x⁴ + 2x³ - 2x = 0

x⁴ - 3x = 0

a) Resolução de uma equação biquadrada

Na resolução de uma equação biquadrada em IR, devemos substituir sua variável, transformando-a numa equação do 2º grau. Observe agora o procedimento que deve ser utilizado.

Sequência prática:

• Substitua x⁴ por y² (ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x² por y.

• Resolva a equação ay² + by + c = 0.

• Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay² + by + c = 0.
  Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay² + by + c = 0 dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz real para a mesma.

Exemplos:

• Determine as raízes da equação biquadrada x⁴ - 13 x² + 36 = 0.
  Solução:
  Substituindo x⁴ por y² e x² por y, temos:
  y² - 13y + 36 = 0
  
  Resolvendo essa equação, obtemos:
  y'=4     e      y''=9
  
  Como x²= y, temos:
  
  
  Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.

• Determine as raízes da equação biquadrada x⁴ + 4x² - 60 = 0.
  Solução:
  Substituindo x⁴ por y² e x² por y, temos:
  y² + 4y - 60 = 0
  
  Resolvendo essa equação, obtemos:
  y'=6   e  y''= -10
  
  Como x²= y, temos:
  

  Logo, temos para o conjunto verdade:.

• Determine a soma das raízes da equação .
  Solução:
  Utilizamos o seguinte artifício:
  
  
  Assim:
  y² - 3y = -2
  y² - 3y + 2 = 0
  y'=1  e  y''=2
  
  Substituindo y, determinamos:
  
  
  Logo, a soma das raízes é dada por:
  

Resolução de equações da forma: ax²ⁿ  +  bxⁿ  + c = 0

Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada. Para isso, substituimos xⁿ por y, obtendo:

ay² + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau.

Exemplo:

• Resolva a equação x⁶ + 117x³ - 1.000 = 0.
  Solução:
  Fazendo x³=y, temos:
  y² + 117y - 1.000 = 0
  

  Resolvendo a equação, obtemos:
  y'= 8  e  y''= - 125
  Então:
  
      Logo, V= {-5, 2 }.    

b) Composição da equação biquadrada

Toda equação biquadrada de raízes reais x₁, x₂, x₃ e x₄ pode ser composta pela fórmula:

Exemplo:

• Compor a equação biquadrada cujas raízes são:
   
  Solução:
  

  a) (x - 0) (x - 0) (x + 7) (x - 7) = 0       x2(x2 -49) = 0     x4 - 49x2 = 0

  b) (x + a) (x - a) (x + b) (x - b) = 0     (x2-a2) (x2-b2) = 0     x4 - (a2 + b2) x2 + a2b2 = 0

Propriedades das raízes da da equação biquadrada

Consideremos a equação ax⁴ + bx² + c = 0, cujas raízes são x₁, x₂, x₃ e x₄ e a equação do 2º grau ay² + by + c = 0, cujas raízes são y' e y''.De cada raiz da equação do 2º grau, obtemos duas raízes simétricas para a biquadrada. Assim:

Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades:

1ª propriedade: a soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.

2ª propriedade: a soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é igual a -.

3ª propriedade: o produto das raízes reais e não-nulas da equação biquadrada é igual a .

3. Problemas do 2º Grau

Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:

Sequência prática:

• Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a linguagem matemática.
• Resolva a equação ou o sistema de equações.
• Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema.

Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau:

• Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja .
  Solução:
  Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão representados por .
  Temos então a equação: .
  Resolvendo-a:
  
  Observe que a raiz  não é utilizada, pois não se trata de número inteiro.
  Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.

• Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.
  Solução:
  Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y + x.
  Observe:
  Número:        10x + y
  Número com a ordem dos algarismos trocada:   10y + x.
  Temos, então, o sistema de equações:
  
  Resolvendo o sistema, temos:
  
  Isolando y na primeira equação:
  -x + y = 3   y= x + 3
  Substituindo y na segunda equação:
  xy   =  18
  x ( x + 3) = 18
  x² + 3x = 18
  x² + 3x - 18   =   0
  x'= 3  e  x''= -6
  Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
  y'= 3 + 3 = 6
  y''= -6 + 3 = -3
  Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.
  
  Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema o número 36 ( x=3  e y=6).
  Resposta: O número procurado é 36.

Fontes:

Toda Matéria - Equação do segundo grau
Só Matemática -  Equações biquadradas
Só Matemática - Resolução de equações biquadradas
Só Matemática - Composição da equação biquadrada
Só Matemática - Problemas do 2º Grau