1. Equação do Segundo Grau
A equação do segundo grau recebe esse nome porque é uma equação polinomial cujo termo de maior grau está elevado ao quadrado. Também chamada de equação quadrática, é representada por:
ax2 + bx + c = 0
Numa equação do 2º grau, o x é a incógnita e representa um valor desconhecido. Já as letras a, b e c são chamadas de coeficientes da equação.
Os coeficientes são números reais e o coeficiente a tem que ser diferente de zero, pois do contrário passa a ser uma equação do 1º grau.
Resolver uma equação de segundo Grau, significa buscar valores reais de x, que tornam a equação verdadeira. Esses valores são denominados raízes da equação.
Uma equação quadrática possui no máximo duas raízes reais.
a) Equações do 2º Grau Completas e Incompletas
As equações do 2º grau completas são aquelas que apresentam todos os coeficientes, ou seja a, b e c são diferentes de zero (a, b, c ≠ 0).
Por exemplo, a equação 5x2 + 2x + 2 = 0 é completa, pois todos os coeficientes são diferentes de zero (a = 5, b = 2 e c = 2).
Uma equação quadrática é incompleta quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0. Por exemplo, a equação 2x2 = 0 é incompleta, pois a = 2, b = 0 e c = 0
Exercícios Resolvidos
1) Determine os valores de x que tornam a equação 4x2 - 16 = 0 verdadeira.
Solução:
A equação dada é uma equação incompleta do 2º grau, com b = 0. Para equações deste tipo, podemos resolver, isolando o x. Assim:
Note que a raiz quadrada de 4 pode ser 2 e - 2, pois esses dois números elevados ao quadrado resultam em 4.
Assim, as raízes da equação 4x2 - 16 = 0 são x = - 2 e x = 2
2) Encontre o valor do x para que a área do retângulo abaixo seja igual a 2.
Solução:
A área do retângulo é encontrada multiplicando-se a base pela altura. Assim, devemos multiplicar os valores dados e igualar a 2.
(x - 2) . (x - 1) = 2
Agora vamos multiplicar todos os termos:
x . x - 1 . x - 2 . x - 2 . (- 1) = 2
x2 - 1x - 2x + 2 = 2
x2 - 3x + 2 - 2 = 0
x2 - 3x = 0
Após resolver as multiplicações e simplificações, encontramos uma equação incompleta do segundo grau, com c = 0.
Esse tipo de equação pode ser resolvida através da fatoração, pois o x se repete em ambos os termos. Assim, iremos colocá-lo em evidência.
x . (x - 3) = 0
Para o produto ser igual a zero, ou x = 0 ou (x - 3) = 0. Contudo, substituindo x por zero, as medidas dos lados ficam negativas, portanto, esse valor não será resposta da questão.
Então, temos que o único resultado possível é (x - 3) = 0. Resolvendo essa equação:
x - 3 = 0
x = 3
Desta forma, o valor do x para que a área do retângulo seja igual a 2 é x = 3.
b) Fórmula de Bhaskara
Quando uma equação do segundo grau é completa, usamos a Fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação.
A fórmula é apresentada abaixo:
c) Fórmula do Delta
Na fórmula de Bhaskara (aprenda como ela foi deduzida), aparece a letra grega Δ (delta), que é chamada de discriminante da equação, pois de acordo com o seu valor é possível saber qual o número de raízes que a equação terá.
Para calcular o delta usamos a seguinte fórmula:
Passo a Passo
Para resolver uma equação do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara, devemos seguir os seguintes passos:
1º Passo: Identificar os coeficientes a, b e c.
Nem sempre os termos da equação aparecem na mesma ordem, portanto, é importante saber identificar os coeficientes, independente da sequência em que estão.
O coeficiente a é o número que está junto com o x2, o b é o número que acompanha o x e o c é o termo independente, ou seja, o número que aparece sem o x.
2º Passo: Calcular o delta.
Para calcular as raízes é necessário conhecer o valor do delta. Para isso, substituímos as letras na fórmula pelos valores dos coeficientes.
Podemos, a partir do valor do delta, saber previamente o número de raízes que terá a equação do 2º grau. Ou seja, se o valor de Δ for maior que zero (Δ > 0), a equação terá duas raízes reais e distintas.
Se ao contrário, delta for menor que zero (Δ < 0), a equação não apresentará raízes reais e se for igual a zero (Δ = 0), a equação apresentará somente uma raiz.
3º Passo: Calcular as raízes.
Se o valor encontrado para delta for negativo, não precisa fazer mais nenhum cálculo e a resposta será que a equação não possui raízes reais.
Caso o valor do delta seja igual ou maior que zero, devemos substituir todas as letras pelos seus valores na fórmula de Bhaskara e calcular as raízes.
Exercício Resolvido
Determine as raízes da equação 2x2 - 3x - 5 = 0
Solução:
Para resolver, primeiro devemos identificar os coeficientes, assim temos:
a = 2
b = - 3
c = - 5
Agora, podemos encontrar o valor do delta. Devemos tomar cuidado com as regras de sinais e lembrar que primeiro devemos resolver a potenciação e a multiplicação e depois a soma e a subtração.
Δ = (- 3)2 - 4 . (- 5) . 2 = 9 +40 = 49
Como o valor encontrado é positivo, encontraremos dois valores distintos para as raízes. Assim, devemos resolver a fórmula de Bhaskara duas vezes. Temos então:
Assim, as raízes da equação 2x2 - 3x - 5 = 0 são x = 5/2 e x = - 1.
d) Sistema de Equações do 2º Grau
Quando queremos encontrar valores de duas incógnitas diferentes que satisfaçam simultaneamente duas equações, temos um sistema de equações.
As equações que formam o sistema podem ser do 1º grau e do 2º grau. Para resolver esse tipo de sistema podemos usar o método da substituição e o método da adição.
Exercício Resolvido
Resolva o sistema abaixo:
Solução:
Para resolver o sistema, podemos utilizar o método da adição. Neste método, somamos os termos semelhantes da 1ª equação com os da 2ª equação. Assim, reduzimos o sistema para uma só equação.
Podemos ainda simplificar todos os termos da equação por 3 e o resultado será a equação x2 - 2x - 3 = 0. Resolvendo a equação, temos:
Δ = 4 - 4 . 1 . (- 3) = 4 + 12 = 16
Depois de encontrar os valores do x, não podemos esquecer que temos ainda de encontrar os valores de y que tornam o sistema verdadeiro.
Para isso, basta substituir os valores encontrados para o x, em uma das equações.
y1 - 6. 3 = 4
y1 = 4 + 18
y1 = 22
y2 - 6 . (-1) = 4
y2 + 6 = 4
y2 = - 2
Portanto, os valores que satisfazem ao sistema proposto são (3, 22) e (- 1, - 2)
2. Equações biquadradas
Observe as equações:
x4 - 13x2 + 36 = 0
9x4 - 13x2 + 4 = 0
x4 - 5x2 + 6 = 0
Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo em x4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos.
Denominamos essas equações de equações biquadradas.
Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:
ax4 + bx2 + c = 0 |
Exemplos:
x4 - 5x2 + 4 = 0
x4 - 8x2 = 0
3x4 - 27 = 0
Cuidado!
As equações abaixo não são biquadradas, pois em uma equação biquadrada a variável x só possui expoentes pares.
x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0
6x4 + 2x3 - 2x = 0
x4 - 3x = 0
a) Resolução de uma equação biquadrada
Na resolução de uma equação biquadrada em IR, devemos substituir sua variável, transformando-a numa equação do 2º grau. Observe agora o procedimento que deve ser utilizado.
Sequência prática:
Substitua x4 por y2 (ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y.
Resolva a equação ay2 + by + c = 0.
Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay2 + by + c = 0.
Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0 dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz real para a mesma.
Exemplos:
Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0.
Solução:
Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:
y2 - 13y + 36 = 0
Resolvendo essa equação, obtemos:
y'=4 e y''=9
Como x2= y, temos:
Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.
Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0.
Solução:
Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:
y2 + 4y - 60 = 0
Resolvendo essa equação, obtemos:
y'=6 e y''= -10
Como x2= y, temos:Logo, temos para o conjunto verdade:
.
Determine a soma das raízes da equação
.
Solução:
Utilizamos o seguinte artifício:
Assim:
y2 - 3y = -2
y2 - 3y + 2 = 0
y'=1 e y''=2
Substituindo y, determinamos:
Logo, a soma das raízes é dada por:
Resolução de equações da forma: ax2n + bxn + c = 0
Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada. Para isso, substituimos xn por y, obtendo:
ay2 + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau.
Exemplo:
Resolva a equação x6 + 117x3 - 1.000 = 0.
Solução:
Fazendo x3=y, temos:
y2 + 117y - 1.000 = 0Resolvendo a equação, obtemos:
y'= 8 e y''= - 125
Então:
Logo, V= {-5, 2 }.
b) Composição da equação biquadrada
Toda equação biquadrada de raízes reais x1, x2, x3 e x4 pode ser composta pela fórmula:
(x -x1) . (x - x2) . (x - x3) . (x - x4) = 0 |
Exemplo:
Compor a equação biquadrada cujas raízes são:
Solução:a) (x - 0) (x - 0) (x + 7) (x - 7) = 0
x2(x2 -49) = 0
x4 - 49x2 = 0b) (x + a) (x - a) (x + b) (x - b) = 0
(x2-a2) (x2-b2) = 0
x4 - (a2 + b2) x2 + a2b2 = 0
Propriedades das raízes da da equação biquadrada
Consideremos a equação ax4 + bx2 + c = 0, cujas raízes são x1, x2, x3 e x4 e a equação do 2º grau ay2 + by + c = 0, cujas raízes são y' e y''.De cada raiz da equação do 2º grau, obtemos duas raízes simétricas para a biquadrada. Assim:
Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades:
1ª propriedade: a soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.
x1 + x2 + x3 + x4 = 0 |
2ª propriedade: a soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é igual a -.
3ª propriedade: o produto das raízes reais e não-nulas da equação biquadrada é igual a .
3. Problemas do 2º Grau
Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:
Sequência prática:
- Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a linguagem matemática.
- Resolva a equação ou o sistema de equações.
- Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema.
Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau:
- Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja
.
Solução:
Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão representados por.
Temos então a equação:.
Resolvendo-a:
Observe que a raiznão é utilizada, pois não se trata de número inteiro.
Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.
- Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.
Solução:
Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y + x.
Observe:
Número:10x + y
Número com a ordem dos algarismos trocada:10y + x.
Temos, então, o sistema de equações:
Resolvendo o sistema, temos:
Isolando y na primeira equação:
-x + y = 3y= x + 3
Substituindo y na segunda equação:
xy = 18
x ( x + 3) = 18
x2 + 3x = 18
x2 + 3x - 18 = 0
x'= 3 e x''= -6
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
y'= 3 + 3 = 6
y''= -6 + 3 = -3
Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.
Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema o número 36 ( x=3 e y=6).
Resposta: O número procurado é 36.
Fontes:
Toda Matéria - Disponível em < https://www.todamateria.com.br/equacao-do-segundo-grau/ > Acesso em 12 abr. 2022.
Só Matemática - Disponível em < https://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2/equacoes2_11.php > Acesso em 12 abr. 2022.
Só Matemática - Disponível em < https://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2/equacoes2_12.php > Acesso em 12 abr. 2022.
Só Matemática - Disponível em < https://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2/equacoes2_13.php > Acesso em 12 abr. 2022.
Só Matemática - Disponível em < https://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2/equacoes2_16.php > Acesso em 12 abr. 2022.