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MT MAT-BAS Matemática Básica
Equações do segundo grau e Equações biquadradas

1. Equação do Segundo Grau

equação do segundo grau recebe esse nome porque é uma equação polinomial cujo termo de maior grau está elevado ao quadrado. Também chamada de equação quadrática, é representada por:

ax2 + bx + c = 0

Numa equação do 2º grau, o x é a incógnita e representa um valor desconhecido. Já as letras asão chamadas de coeficientes da equação.

Os coeficientes são números reais e o coeficiente a tem que ser diferente de zero, pois do contrário passa a ser uma equação do 1º grau.

Resolver uma equação de segundo Grau, significa buscar valores reais de x, que tornam a equação verdadeira. Esses valores são denominados raízes da equação.

Uma equação quadrática possui no máximo duas raízes reais.

a) Equações do 2º Grau Completas e Incompletas

As equações do 2º grau completas são aquelas que apresentam todos os coeficientes, ou seja a, b e c são diferentes de zero (a, b, c ≠ 0).

Por exemplo, a equação 5x2 + 2x + 2 = 0 é completa, pois todos os coeficientes são diferentes de zero (a = 5, b = 2 e c = 2).

Uma equação quadrática é incompleta quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0. Por exemplo, a equação 2x2 = 0 é incompleta, pois a = 2, b = 0 e c = 0

Exercícios Resolvidos

1) Determine os valores de x que tornam a equação 4x2 - 16 = 0 verdadeira.

Solução:

A equação dada é uma equação incompleta do 2º grau, com b = 0. Para equações deste tipo, podemos resolver, isolando o x. Assim:

4 x ao quadrado igual a 16 seta dupla para a direita x ao quadrado igual a 16 sobre 4 seta dupla para a direita x igual a índice radical espaço em branco de 4 seta dupla para a direita x igual a mais ou menos 2

Note que a raiz quadrada de 4 pode ser 2 e - 2, pois esses dois números elevados ao quadrado resultam em 4.

Assim, as raízes da equação 4x2 - 16 = 0 são x = - 2 e x = 2

2) Encontre o valor do x para que a área do retângulo abaixo seja igual a 2.

Equação do 2º grau exercício

Solução:

A área do retângulo é encontrada multiplicando-se a base pela altura. Assim, devemos multiplicar os valores dados e igualar a 2.

(x - 2) . (x - 1) = 2

Agora vamos multiplicar todos os termos:

x . x - 1 . x - 2 . x - 2 . (- 1) = 2
x2 - 1x - 2x + 2 = 2
x2 - 3x + 2 - 2 = 0
x- 3x = 0

Após resolver as multiplicações e simplificações, encontramos uma equação incompleta do segundo grau, com c = 0.

Esse tipo de equação pode ser resolvida através da fatoração, pois o x se repete em ambos os termos. Assim, iremos colocá-lo em evidência.

x . (x - 3) = 0

Para o produto ser igual a zero, ou x = 0 ou (x - 3) = 0. Contudo, substituindo x por zero, as medidas dos lados ficam negativas, portanto, esse valor não será resposta da questão.

Então, temos que o único resultado possível é (x - 3) = 0. Resolvendo essa equação:

x - 3 = 0
x = 3

Desta forma, o valor do x para que a área do retângulo seja igual a 2 é x = 3.

b) Fórmula de Bhaskara

Quando uma equação do segundo grau é completa, usamos a Fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação.

A fórmula é apresentada abaixo:

x igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração

c) Fórmula do Delta

Na fórmula de Bhaskara (aprenda como ela foi deduzida), aparece a letra grega Δ (delta), que é chamada de discriminante da equação, pois de acordo com o seu valor é possível saber qual o número de raízes que a equação terá.

Para calcular o delta usamos a seguinte fórmula:

incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c

Passo a Passo

Para resolver uma equação do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara, devemos seguir os seguintes passos:

1º Passo: Identificar os coeficientes ab e c.

Nem sempre os termos da equação aparecem na mesma ordem, portanto, é importante saber identificar os coeficientes, independente da sequência em que estão.

O coeficiente a é o número que está junto com o x2, o é o número que acompanha o e o c é o termo independente, ou seja, o número que aparece sem o x.

2º Passo: Calcular o delta.

Para calcular as raízes é necessário conhecer o valor do delta. Para isso, substituímos as letras na fórmula pelos valores dos coeficientes.

Podemos, a partir do valor do delta, saber previamente o número de raízes que terá a equação do 2º grau. Ou seja, se o valor de Δ for maior que zero (Δ > 0), a equação terá duas raízes reais e distintas.

Se ao contrário, delta for menor que zero (Δ < 0), a equação não apresentará raízes reais e se for igual a zero (Δ = 0), a equação apresentará somente uma raiz.

3º Passo: Calcular as raízes.

Se o valor encontrado para delta for negativo, não precisa fazer mais nenhum cálculo e a resposta será que a equação não possui raízes reais.

Caso o valor do delta seja igual ou maior que zero, devemos substituir todas as letras pelos seus valores na fórmula de Bhaskara e calcular as raízes.

Fórmula de Bhaskara

Exercício Resolvido

Determine as raízes da equação 2x2 - 3x - 5 = 0

Solução:

Para resolver, primeiro devemos identificar os coeficientes, assim temos:

a = 2
b = - 3
c = - 5

Agora, podemos encontrar o valor do delta. Devemos tomar cuidado com as regras de sinais e lembrar que primeiro devemos resolver a potenciação e a multiplicação e depois a soma e a subtração.

Δ = (- 3)2 - 4 . (- 5) . 2 = 9 +40 = 49

Como o valor encontrado é positivo, encontraremos dois valores distintos para as raízes. Assim, devemos resolver a fórmula de Bhaskara duas vezes. Temos então:

x com 1 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito espaço mais raiz quadrada de 49 sobre denominador 2.2 fim da fração igual a numerador mais 3 mais 7 sobre denominador 4 fim da fração igual a 10 sobre 4 igual a 5 sobre 2

x com 2 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito espaço menos raiz quadrada de 49 sobre denominador 2.2 fim da fração igual a numerador mais 3 menos 7 sobre denominador 4 fim da fração igual a numerador menos 4 sobre denominador 4 fim da fração igual a menos 1

Assim, as raízes da equação 2x2 - 3x - 5 = 0 são x = 5/2 e x = - 1.

d) Sistema de Equações do 2º Grau

Quando queremos encontrar valores de duas incógnitas diferentes que satisfaçam simultaneamente duas equações, temos um sistema de equações.

As equações que formam o sistema podem ser do 1º grau e do 2º grau. Para resolver esse tipo de sistema podemos usar o método da substituição e o método da adição.

Exercício Resolvido

Resolva o sistema abaixo:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 3 x ao quadrado menos espaço y espaço igual a espaço 5 fim da célula linha com célula com y espaço menos espaço 6 x espaço igual a espaço 4 fim da célula fim da tabela fecha

Solução:

Para resolver o sistema, podemos utilizar o método da adição. Neste método, somamos os termos semelhantes da 1ª equação com os da 2ª equação. Assim, reduzimos o sistema para uma só equação.

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Podemos ainda simplificar todos os termos da equação por 3 e o resultado será a equação x2 - 2x - 3 = 0. Resolvendo a equação, temos:

Δ = 4 - 4 . 1 . (- 3) = 4 + 12 = 16

x com 1 subscrito igual a numerador 2 espaço mais raiz quadrada de 16 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador 2 mais 4 sobre denominador 2 fim da fração igual a 6 sobre 2 igual a 3

x com 2 subscrito igual a numerador 2 menos raiz quadrada de 16 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador 2 menos 4 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 2 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 1

Depois de encontrar os valores do x, não podemos esquecer que temos ainda de encontrar os valores de y que tornam o sistema verdadeiro.

Para isso, basta substituir os valores encontrados para o x, em uma das equações.

y1 - 6. 3 = 4
y1 = 4 + 18
y1 = 22

y2 - 6 . (-1) = 4
y2 + 6 = 4
y2 = - 2

Portanto, os valores que satisfazem ao sistema proposto são (3, 22) e (- 1, - 2)

2. Equações biquadradas

 Observe as equações:

x4 - 13x2 + 36 = 0

9x4 - 13x2 + 4 = 0

x4 - 5x+ 6 = 0

Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo em x4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos.

Denominamos essas equações de equações biquadradas.

Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:

ax4 + bx2 + c = 0

Exemplos:

x4 - 5x2 + 4 = 0

x4 - 8x2 = 0

3x4 - 27 = 0

Cuidado!

As equações abaixo não são biquadradas, pois em uma equação biquadrada a variável x só possui expoentes pares.

x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0

6x+ 2x3 - 2x = 0

x4 - 3x = 0

a) Resolução de uma equação biquadrada

Na resolução de uma equação biquadrada em IR, devemos substituir sua variável, transformando-a numa equação do 2º grau. Observe agora o procedimento que deve ser utilizado.

Sequência prática:

  • Substitua xpor y2 (ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e xpor y.

  • Resolva a equação ay2 + by + c = 0.

  • Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay2 + by + c = 0.
    Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay+ by + c = 0 dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz real para a mesma.

Exemplos:

  • Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0.
    Solução:
    Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:
    y- 13y + 36 = 0

    Resolvendo essa equação, obtemos:
    y'=4     e      y''=9

    Como x2= y, temos:


    Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.

  • Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0.
    Solução:
    Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:
    y2 + 4y - 60 = 0

    Resolvendo essa equação, obtemos:
    y'=6   e  y''= -10

    Como x2= y, temos:

    Logo, temos para o conjunto verdade:.

  • Determine a soma das raízes da equação .
    Solução:
    Utilizamos o seguinte artifício:


    Assim:
    y2 - 3y = -2
    y2 - 3y + 2 = 0
    y'=1  e  y''=2

    Substituindo y, determinamos:


    Logo, a soma das raízes é dada por:

Resolução de equações da forma: ax2n  +  bxn  + c = 0

Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada. Para isso, substituimos xn por y, obtendo:

ay2 + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau.

Exemplo:

  • Resolva a equação x6 + 117x3 - 1.000 = 0.
    Solução:
    Fazendo x3=y, temos:
    y2 + 117y - 1.000 = 0

    Resolvendo a equação, obtemos:
    y'= 8  e  y''= - 125
    Então:

        Logo, V= {-5, 2 }.    

    b) Composição da equação biquadrada

    Toda equação biquadrada de raízes reais x1, x2, x3 e x4 pode ser composta pela fórmula:

    (x -x1) . (x - x2) . (x - x3) . (x - x4) = 0

    Exemplo:

    • Compor a equação biquadrada cujas raízes são:
       
      Solução:

      a) (x - 0) (x - 0) (x + 7) (x - 7) = 0  
          x2(x2 -49) = 0
          x4 - 49x2 = 0
      b) (x + a) (x - a) (x + b) (x - b) = 0
          (x2-a2) (x2-b2) = 0
          x4 - (a2 + b2) x2 + a2b2 = 0

    Propriedades das raízes da da equação biquadrada

    Consideremos a equação ax4 + bx2 + c = 0, cujas raízes são x1, x2, x3 e x4 e a equação do 2º grau ay2 + by + c = 0, cujas raízes são y' e y''.De cada raiz da equação do 2º grau, obtemos duas raízes simétricas para a biquadrada. Assim:

     

    Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades:

     

    1ª propriedade: a soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.

    x1 + x2 + x3 + x4 = 0

    2ª propriedade: a soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é igual a -.

     

    3ª propriedade: o produto das raízes reais e não-nulas da equação biquadrada é igual a .


    3. Problemas do 2º Grau

    Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:

    Sequência prática:

    • Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a linguagem matemática.
    • Resolva a equação ou o sistema de equações.
    • Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema.

    Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau:

    • Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja .
      Solução:
      Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão representados por .
      Temos então a equação: .
      Resolvendo-a:

      Observe que a raiz  não é utilizada, pois não se trata de número inteiro.
      Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.
    • Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.
      Solução:
      Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y + x.
      Observe:
      Número:        10x + y
      Número com a ordem dos algarismos trocada:   10y + x.
      Temos, então, o sistema de equações:

      Resolvendo o sistema, temos:

      Isolando y na primeira equação:
      -x + y = 3   y= x + 3
      Substituindo y na segunda equação:
      xy   =  18
      x ( x + 3) = 18
      x2 + 3x = 18
      x2 + 3x - 18   =   0
      x'= 3  e  x''= -6
      Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
      y'= 3 + 3 = 6
      y''= -6 + 3 = -3
      Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.

      Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema o número 36 ( x=3  e y=6).
      Resposta: O número procurado é 36.

    Fontes:

    Toda Matéria - Equação do segundo grau
    Só Matemática -  Equações biquadradas
    Só Matemática - Resolução de equações biquadradas
    Só Matemática - Composição da equação biquadrada
    Só Matemática - Problemas do 2º Grau

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