1. Razão e Proporção
Na matemática, a razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, sendo o coeficiente entre dois números.
Já a proporção é determinada pela igualdade entre duas razões, ou ainda, quando duas razões possuem o mesmo resultado.
Note que a razão está relacionada com a operação da divisão. Vale lembrar que duas grandezas são proporcionais quando formam uma proporção.
Ainda que não tenhamos consciência disso, utilizamos cotidianamente os conceitos de razão e proporção. Para preparar uma receita, por exemplo, utilizamos certas medidas proporcionais entre os ingredientes.
Atenção!
Para você encontrar a razão entre duas grandezas, as unidades de medida terão de ser as mesmas.
Exemplos
A partir das grandezas A e B temos:
Razão:ou A : B, onde b≠0
Proporção:, onde todos os coeficientes são ≠0
Exemplo 1
Qual a razão entre 40 e 20?
Lembre-se que numa fração, o numerador é o número acima e o denominador, o de baixo.
Se o denominador for igual a 100, temos uma razão do tipo porcentagem, também chamada de razão centesimal.
Além disso, nas razões, o coeficiente que está localizado acima é chamado de antecedente (A), enquanto o de baixo é chamado de consequente (B).
Exemplo 2
Qual o valor de x na proporção abaixo?
3 . 12 = x
x = 36
Assim, quando temos três valores conhecidos, podemos descobrir o quarto, também chamado de “quarta proporcional”.
Na proporção, os elementos são denominados de termos. A primeira fração é formada pelos primeiros termos (A/B), enquanto a segunda são os segundos termos (C/D).
Nos problemas onde a resolução é feita através da regra de três, utilizamos o cálculo da proporção para encontrar o valor procurado.
a) Propriedades da Proporção
Para esse exemplo, temos a definição: “O produto dos extremos é igual ao produto dos meios”
1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, por exemplo:
Logo:
A·D = B·C
Essa propriedade é denominada de multiplicação cruzada, e é extremamente importante.
2. É possível trocar os extremos e os meios de lugar, por exemplo:
é equivalente a
Logo,
D. A = C . B
De forma mais ampla,
A razão entre dois números é dada pela divisão desses números, por exemplo, a razão entre a e b é dada por a/b. Quando estabelecemos uma relação de igualdade entre duas razões, temos uma proporção. Suponha a seguinte proporção:
Essa proporção pode ser expressa da seguinte forma:
Os itens em vermelho são classificados como extremos e os itens em azul são os meios.
Temos então a Propriedade Fundamental das Proporções, que nos garante que “o produto dos extremos é igual ao produto dos meios”. Essa propriedade é comumente chamada de multiplicação cruzada. Vejamos:
Mas além dessa, temos outras propriedades que podem nos ajudar muito a resolver problemas com proporções, são elas:
a) Trocar os extremos
b) Trocar os meios
c) Inverter as duas razões
d) Trocar a posição das duas razões
A partir dessas propriedades das proporções, chegamos a duas importantes relações entre razões:
Exemplos:
1. Se x = y e x + y = 15, calcule o valor de x e de y.
4 6
Temos a seguinte proporção
x = y
4 6
Aplicando a propriedade destacada, temos:
x + y = x
6 + 4 4
Mas nós temos a informação de que x + y = 15, substituindo x + y na proporção anterior, temos:
15 = x
10 4
Aplicando a Propriedade Fundamental das Proporções, temos que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, portanto:
15.4 = x.10
x.10 = 15.4
x.10 = 60
x = 60
10
x = 6
2. Vamos resolver a proporção da imagem inicial do texto? Para resolvê-la, aplicaremos a Propriedade Fundamental das Proporções.
10 = 12
x + 10 2x
10 . 2x = 12. ( x + 10 )
20x = 12x + 120
20x – 12x = 120
8x = 120
x = 120
8
x = 15
2. Resolvendo Proporções
Uma proporção é dada pela igualdade entre duas razões e o processo de resolução consiste na seguinte situação: “o produto dos extremos é igual ao produto dos meios” ou utilizando a eventual multiplicação cruzada. Nas situações envolvendo regra de três simples ou composta, o principal método de resolução é através da utilização dos fundamentos e propriedades das proporções.
Nos exemplos a seguir determine o valor da incógnita x.
Exemplo 1
32 * x = 24 * 20
32x = 480
x = 480 / 32
x = 15
Exemplo 2
6 * (x + 1) = 2 * 18
6x + 6 = 36
6x = 36 – 6
6x = 30
x = 30/6
x = 5
Exemplo 3
6 * 2x = 4 * (x + 2)
12x = 4x + 8
12x – 4x = 8
8x = 8
x = 8 / 8
x = 1
Exemplo 4
24 * (x – 4) = 9 * (x + 6)
24x – 96 = 9x + 54
24x – 9x = 54 + 96
15x = 150
x = 150 / 15
x = 10
Exemplo 535 * 3x = 21 * (x + 8)
105x = 21x – 168
105x – 21x = 168
84x = 168
x = 168 / 84
x = 2
Exemplo 6
5x * 2 = 1 * (x + 1)
10x = x + 1
10x – x = 1
9x = 1
x = 1 / 9
Utilizando as propriedades da proporção na resolução de problemas envolvendo regra de três.
Exemplo 7
Para cada 2 automóveis que vende, Carlos ganha R$ 200,00 de comissão. Quanto ele recebeu de comissão no mês que vendeu 15 automóveis?
2x = 3000
x = 3000 / 2
x = 1500
Carlos recebeu R$ 1.500,00 de comissão pela venda de 15 automóveis.
Exemplo 8
Um relógio atrasa 5 minutos a cada 8 horas. Quanto tempo ele atrasará em 4 dias?
8 horas = 8 * 60 minutos = 480 minutos
4 dias = 4 * 24 = 96 horas = 5760 minutos
480x = 28800
x = 28800 / 480
x = 60 minutos
Portanto, o relógio atrasará 60 minutos, ou seja, 1 hora.
Fonte:
Toda Matéria - Disponível em < https://www.todamateria.com.br/razao-e-proporcao/ > Acesso em 12 abr. 2022.
Mundo Educação - Disponível em < https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/resolvendo-proporcoes.htm > Acesso em 12 abr. 2022.
Mundo Educação - Disponível em < https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/propriedades-das-proporcoes.htm > Acesso em 12 abr. 2022.