1. Razão e Proporção

Na matemática, a razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, sendo o coeficiente entre dois números.

Já a proporção é determinada pela igualdade entre duas razões, ou ainda, quando duas razões possuem o mesmo resultado.

Note que a razão está relacionada com a operação da divisão. Vale lembrar que duas grandezas são proporcionais quando formam uma proporção.

Ainda que não tenhamos consciência disso, utilizamos cotidianamente os conceitos de razão e proporção. Para preparar uma receita, por exemplo, utilizamos certas medidas proporcionais entre os ingredientes.

Atenção!

Para você encontrar a razão entre duas grandezas, as unidades de medida terão de ser as mesmas.

Exemplos

A partir das grandezas A e B temos:

Razão:ou A : B, onde b≠0

Proporção:, onde todos os coeficientes são ≠0

Exemplo 1

Qual a razão entre 40 e 20?

Lembre-se que numa fração, o numerador é o número acima e o denominador, o de baixo.

Se o denominador for igual a 100, temos uma razão do tipo porcentagem, também chamada de razão centesimal.

Além disso, nas razões, o coeficiente que está localizado acima é chamado de antecedente (A), enquanto o de baixo é chamado de consequente (B).

Exemplo 2

Qual o valor de x na proporção abaixo?

3 . 12 = x
x = 36

Assim, quando temos três valores conhecidos, podemos descobrir o quarto, também chamado de “quarta proporcional”.

Na proporção, os elementos são denominados de termos. A primeira fração é formada pelos primeiros termos (A/B), enquanto a segunda são os segundos termos (C/D).

Nos problemas onde a resolução é feita através da regra de três, utilizamos o cálculo da proporção para encontrar o valor procurado.

a) Propriedades da Proporção

Para esse exemplo, temos a definição: “O produto dos extremos é igual ao produto dos meios”    

1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, por exemplo:

Logo:

A·D = B·C

Essa propriedade é denominada de multiplicação cruzada, e é extremamente importante.

2. É possível trocar os extremos e os meios de lugar, por exemplo:

 é equivalente a 

Logo,

D. A = C . B

De forma mais ampla,

A razão entre dois números é dada pela divisão desses números, por exemplo, a razão entre a e b é dada por ^a/_b. Quando estabelecemos uma relação de igualdade entre duas razões, temos uma proporção. Suponha a seguinte proporção:

Essa proporção pode ser expressa da seguinte forma:

Os itens em vermelho são classificados como extremos e os itens em azul são os meios.

Temos então a Propriedade Fundamental das Proporções, que nos garante que “o produto dos extremos é igual ao produto dos meios”. Essa propriedade é comumente chamada de multiplicação cruzada. Vejamos:

Mas além dessa, temos outras propriedades que podem nos ajudar muito a resolver problemas com proporções, são elas:

a) Trocar os extremos

b) Trocar os meios

c) Inverter as duas razões

d) Trocar a posição das duas razões

A partir dessas propriedades das proporções, chegamos a duas importantes relações entre razões:

Exemplos:

1. Se    x    =    y    e x + y = 15, calcule o valor de x e de y.
            4          6

Temos a seguinte proporção

  x   =    y      
  4         6

Aplicando a propriedade destacada, temos:

   x + y   =    x  
   6 + 4         4

Mas nós temos a informação de que x + y = 15, substituindo x + y na proporção anterior, temos:

  15  =    x  
 10        4

Aplicando a Propriedade Fundamental das Proporções, temos que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, portanto:

15.4 = x.10

x.10 = 15.4

x.10 = 60

x = 60
      10
x = 6

2. Vamos resolver a proporção da imagem inicial do texto? Para resolvê-la, aplicaremos a Propriedade Fundamental das Proporções.

   10    =   12  
x + 10      2x

10 . 2x = 12. ( x + 10 )

20x = 12x + 120

20x – 12x = 120

8x = 120

x = 120
       8
x = 15

2. Resolvendo Proporções

Uma proporção é dada pela igualdade entre duas razões e o processo de resolução consiste na seguinte situação: “o produto dos extremos é igual ao produto dos meios” ou utilizando a eventual multiplicação cruzada. Nas situações envolvendo regra de três simples ou composta, o principal método de resolução é através da utilização dos fundamentos e propriedades das proporções.

Nos exemplos a seguir determine o valor da incógnita x.

Exemplo 1

32 * x = 24 * 20
32x = 480
x = 480 / 32
x = 15

Exemplo 2 

 
6 * (x + 1) = 2 * 18
6x + 6 = 36
6x = 36 – 6
6x = 30
x = 30/6
x = 5


Exemplo 3 

 
6 * 2x = 4 * (x + 2)
12x = 4x + 8
12x – 4x = 8
8x = 8
x = 8 / 8
x = 1


Exemplo 4 

 
24 * (x – 4) = 9 * (x + 6)
24x – 96 = 9x + 54
24x – 9x = 54 + 96
15x = 150
x = 150 / 15
x = 10


Exemplo 5

35 * 3x = 21 * (x + 8)
105x = 21x – 168
105x – 21x = 168
84x = 168
x = 168 / 84
x = 2


Exemplo 6

5x * 2 = 1 * (x + 1)

10x = x + 1
10x – x = 1
9x = 1
x = 1 / 9

Utilizando as propriedades da proporção na resolução de problemas envolvendo regra de três.

Exemplo 7

Para cada 2 automóveis que vende, Carlos ganha R$ 200,00 de comissão. Quanto ele recebeu de comissão no mês que vendeu 15 automóveis?

2x = 3000
x = 3000 / 2
x = 1500

Carlos recebeu R$ 1.500,00 de comissão pela venda de 15 automóveis.

Exemplo 8

Um relógio atrasa 5 minutos a cada 8 horas. Quanto tempo ele atrasará em 4 dias?

8 horas = 8 * 60 minutos = 480 minutos
4 dias = 4 * 24 = 96 horas = 5760 minutos



480x = 28800
x = 28800 / 480
x = 60 minutos

Portanto, o relógio atrasará 60 minutos, ou seja, 1 hora.

Fonte:

Toda Matéria - Razão e proporção
Mundo Educação - Resolvendo proporções
Mundo Educação - Propriedades das proporções