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MT MAT-BAS Matemática Básica
Regras de 3 e Escalas

1. Unidades de Medida

As unidades de medida são modelos estabelecidos para medir diferentes grandezas, tais como comprimento, capacidade, massa, tempo e volume.

O Sistema Internacional de Unidades (SI) define a unidade padrão de cada grandeza. Baseado no sistema métrico decimal, o SI surgiu da necessidade de uniformizar as unidades que são utilizadas na maior parte dos países.

a) Medidas de Comprimento

Existem várias medidas de comprimento, como por exemplo a jarda, a polegada e o pé.

No SI a unidade padrão de comprimento é o metro (m). Atualmente ele é definido como o comprimento da distância percorrida pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de um segundo.

Os múltiplos e submúltiplos do metro são: quilômetro (km), hectômetro (hm), decâmetro (dam), decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).

b) Medidas de Capacidade

A unidade de medida de capacidade mais utilizada é o litro (l). São ainda usadas o galão, o barril, o quarto, entre outras.

Os múltiplos e submúltiplos do litro são: quilolitro (kl), hectolitro (hl), decalitro (dal), decilitro (dl), centilitro (cl), mililitro (ml).

c) Medidas de Massa

No Sistema Internacional de unidades a medida de massa é o quilograma (kg). Um cilindro de platina e irídio é usado como o padrão universal do quilograma.

As unidades de massa são: quilograma (kg), hectograma (hg), decagrama (dag), grama (g), decigrama (dg), centigrama (cg) e miligrama (mg).

São ainda exemplos de medidas de massa a arroba, a libra, a onça e a tonelada. Sendo 1 tonelada equivalente a 1000 kg.

d) Medidas de Volume

No SI a unidade de volume é o metro cúbico (m3). Os múltiplos e submúltiplos do m3 são: quilômetro cúbico (km3), hectômetro cúbico (hm3), decâmetro cúbico (dam3), decímetro cúbico (dm3), centímetro cúbico (cm3) e milímetro cúbico (mm3).

Podemos transformar uma medida de capacidade em volume, pois os líquidos assumem a forma do recipiente que os contém. Para isso usamos a seguinte relação:

1 l = 1 dm3

2. Tabela de conversão de Medidas

O mesmo método pode ser utilizado para calcular várias grandezas.

Primeiro, vamos desenhar uma tabela e colocar no seu centro as unidades de medidas bases das grandezas que queremos converter, por exemplo:

  • Capacidade: litro (l)
  • Comprimento: metro (m)
  • Massa: grama (g)
  • Volume: metro cúbico (m3)

Tudo o que estiver do lado direito da medida base são chamados submúltiplos. Os prefixos deci, centi e mili correspondem respectivamente à décima, centésima e milésima parte da unidade fundamental.

Do lado esquerdo estão os múltiplos. Os prefixos deca, hecto e quilo correspondem respectivamente a dez, cem e mil vezes a unidade fundamental.

MúltiplosMedida BaseSubmúltiplos
quilo (k)hecto (h)deca (da)deci (d)centi (c)mili (m)
quilolitro (kl)hectolitro (hl)decalitro (dal)litro (l)decilitro (dl)centilitro (cl)mililitro (ml)
quilômetro (km)hectômetro (hm)decâmetro (dam)metro (m)decímetro (dm)centímetro (cm)milímetro (ml)
quilograma (kg)hectograma (hg)decagrama (dag)grama (g)decigrama (dg)centigrama (cg)miligrama (mg)
quilômetro cúbico (km3)hectômetro cúbico (hm3)decâmetro cúbico (dam3)metro cúbico (m3)decímetro cúbico (dm3)


a) E o Tempo?

A unidade de medida base do tempo no SI é o segundo (s). Atualmente o segundo é definido como o tempo de duração de 9.192.631.770 vibrações da radiação emitida pela transição eletrônica entre os níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133.

Os múltiplos do segundo são o minuto, a hora e o dia. Essas medidas não são decimais, por isso usa-se as seguintes relações:

1 minuto (min) = 60 segundos (s)
1 hora = 3 600 segundos (s)
60 minutos (min) = 1 hora (h)
24 horas (h) = 1 dia (d)

Os submúltiplos do segundo são:

Décimo de segundo = 0,1 s ou 1/10 s
Centésimo de segundo = 0,01 s ou 1/100 s
Milésimo de segundo = 0,001 s ou 1/1000 s

3. Escalas matemáticas

Utilizando escalas na confecção de mapas
Utilizando escalas na confecção de mapas    

Podemos definir escala como a razão entre a medida linear do desenho e a medida linear correspondente na realidade. As distâncias expressas nos mapas, plantas e maquetes são consideradas representativas, isto é, indicam uma constante de proporcionalidade usada na transformação para a distância real. Os dados expressos nos mapas são diretamente proporcionais às distâncias na realidade.

Os mapas representam países, estados, municípios, faixas de terras, continentes, entre outras extensões de terras. Essa representação acontece de forma reduzida, mantendo as relações de tamanho, prevalecendo à proporcionalidade.

Todo mapa, maquete, planta possui uma legenda que informa o coeficiente de proporcionalidade. Vamos supor que em um mapa a informação da legenda seja a seguinte 1 cm : 500 km (Lê-se: um centímetro está para quinhentos quilômetros), ela indica que para cada centímetro de distância no mapa, corresponderá a quinhentos quilômetros na realidade. Então, se utilizarmos uma régua e medirmos a distância entre duas cidades no mapa, obtendo 2,5cm, teremos na realidade a seguinte distância: 2,5 * 500 = 1250 km.

As escalas estão diretamente ligadas aos estudos da Geografia (na construção de mapas), na Engenharia e na Arquitetura (maquetes e plantas), Navegação Marítima e Aérea, entre outras situações referentes à localização de coordenadas e cálculo de distâncias através de mapas referenciais.    

4. Regra de Três Simples e Composta

A regra de três é um processo matemático para a resolução de muitos problemas que envolvem duas ou mais grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.

Nesse sentido, na regra de três simples, é necessário que três valores sejam apresentados, para que assim, descubra o quarto valor.

Em outras palavras, a regra de três permite descobrir um valor não identificado, por meio de outros três.

regra de três composta, por sua vez, permite descobrir um valor a partir de três ou mais valores conhecidos.

Grandezas Diretamente Proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, o aumento de uma implica no aumento da outra na mesma proporção.

Grandezas Inversamente Proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, o aumento de uma implica na redução da outra.

Exercícios Regra de Três Simples

Exercício 1

Para fazer o bolo de aniversário utilizamos 300 gramas de chocolate. No entanto, faremos 5 bolos. Qual a quantidade de chocolate que necessitaremos?

Inicialmente, é importante agrupar as grandezas da mesma espécie em duas colunas, a saber:

1 bolo300 g
5 bolosx

Nesse caso, é a nossa incógnita, ou seja, o quarto valor a ser descoberto. Feito isso, os valores serão multiplicados de cima para baixo no sentido contrário:

1x = 300 . 5
1x = 1500 g

Logo, para fazer os 5 bolos, precisaremos de 1500 g de chocolate ou 1,5 kg.

Note que trata-se de um problema com grandezas diretamente proporcionais, ou seja, fazer mais quatro bolos, ao invés de um, aumentará proporcionalmente a quantidade de chocolate acrescentado nas receitas.

Exercício 2

Para chegar em São Paulo, Lisa demora 3 horas numa velocidade de 80 km/h. Assim, quanto tempo seria necessário para realizar o mesmo percurso numa velocidade de 120 km/h?

Da mesma maneira, agrupa-se os dados correspondentes em duas colunas:

80 km/h3 horas
120 km/hx

Observe que ao aumentar a velocidade, o tempo do percurso diminuirá e, portanto, tratam-se de grandezas inversamente proporcionais.

Em outras palavras, o aumento de uma grandeza, implicará na diminuição da outra. Diante disso, invertemos os termos da coluna para realizar a equação:

120 km/h3 horas
80 km/hx

120x = 240
x = 240/120
x = 2 horas

Logo, para fazer o mesmo trajeto aumentando a velocidade o tempo estimado será de 2 horas.

Exercício Regra de Três Composta

Para ler os 8 livros indicados pela professora para realizar o exame final, o estudante precisa estudar 6 horas durante 7 dias para atingir sua meta.

Porém, a data do exame foi antecipada e, portanto, ao invés de 7 dias para estudar, o estudante terá apenas 4 dias. Assim, quantas horas ele terá de estudar por dia, para se preparar para o exame?

Primeiramente, agruparemos numa tabela, os valores fornecidos acima:

LivrosHorasDias
867
8x4

Observe que ao diminuir o número de dias, será necessário aumentar o número de horas de estudo para a leitura dos 8 livros.

Portanto, tratam-se de grandezas inversamente proporcionais e, por isso, inverte-se o valor dos dias para realizar a equação:

LivrosHorasDias
864
8x7

6/x = 8/8 . 4/7
6/x = 32/56 = 4/7
6/x = 4/7
4 x = 42
x = 42/4
x = 10,5 horas

Logo, o estudante precisará estudar 10,5 horas por dia, durante os 4 dias, a fim de realizar a leitura dos 8 livros indicados pela professora.

Fontes:

Toda Matéria - Unidades de medida
Toda Matéria - Regras de 3 simples e composta
Mundo Educação - Escalas matemáticas

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